Seja a função

(a) Mostre que é contínua em .

(b) Calcule e .

(c) A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.

É nessa hora que você olha a função e bate aquele desespero né? Realmente é uma função bem chata. Mas repare que temos um seno no numerador: é um indício que poderíamos usar o Teorema do Sanduíche. Mas uma outra opção, que vamos usar nesse caso, é utilizar o limite fundamental do seno, aquele:

Mas primeiro vamos ter que dar uma boa manipulada na . Como temos , podemos multiplicar em cima e em baixo por ; assim vai aparecer o limite fundamental do seno :)

Ajeitando um pouco, isso dá:

E, pelo limite fundamental do seno:

Beleza, achamos o nosso limite do seno, então vamos deixar ele de lado por enquanto e nos concentrar na fração da direita, ok?

Bom, agora é respirar fundo e partir pras contas e manipulações algébricas, porque essa fração da direita ainda tá bem estranha!

Vamos começar botando numa raiz cúbica só nela, que tal? Já que temos duas no numerador. Desse jeito:

Dando mais uma ajeitada:

E aí? Isso adiantou alguma coisa? Na verdade, isso é ótimo!

Se você não ficou convencido, o que eu entendo, dá uma olhada:

• Do lado de fora da raiz cúbica, temos :
• Dentro da raiz cúbica, temos primeiro . E essa expressão é limitada!

Dividindo tudo por :

• O outro termo que temos é , que também é limitado!

Podemos novamente montar uma inequação:

E, divindo tudo por :

Portanto, quando fazemos

é como se tivéssemos:

Ou seja:

Show! Estamos quase acabando!

Vamos recapitular o que fizemos pra poder concluir:

Logo, é contínua em .

Ufa! Demorou, mas conseguimos! Enfim, essa questão serve como lição, pra não ver um seno e já partir sem pensar pro Teorema do Sanduíche! Por mais que tenha sido trabalhoso, pra resolver essa questão a gente precisou do limite fundamental do seno.

(b)

Vamos calcular as derivadas parciais em ? Vamos começar com , fazendo esse limite:

O que na nossa função estranha vai dar:

Uma boa agora é usar o mesmo macete da letra (a), tentando cavar um limite fundamental do seno:

Vamos ajeitar um pouco:

Note que:

Show! Então vamos ter:

Logo:

Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a :

O que vai dar:

Portanto

(c)

Achamos as derivadas parciais em mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar a relação bizarra abaixo:

De uma certa forma, se esse limitão tender a , ele nos garante que a função vai ser diferenciável em todas as direções, e não só nas direções dos eixos e . Enfim, vamos pôr a mão na massa! O limite vai ficar:

A coisa tá com cara feia, mas pode ficar calmo! Vamos primeiro assumir que o limite não dá . Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos? Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado! Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como . Assim vamos ter:

Note que o limite passou a ser com uma só variável. Bem, agora vamos, como sempre manipular a expressão pra tentar cavar um limite fundamental do seno, o que vai dar

O que dá:

Vamos especificar ainda mais o caminho, fazendo

O que, com o limite fundamental do seno, vai dar:

Por esse caminho o limite não dá e isso já é o suficiente para afirmarmos que o limite geral é diferente de :)

Depois de tanta conta, é com prazer que eu afirmo que a função não é diferenciável em .