Reta Tangente e Plano Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Seja uma função diferenciável tal que é equação do plano tangente a em .
(a) Obtenha e .
(b) Seja . Obtenha as expressões de e em função das derivadas parciais de .
(c) Seja uma curva diferenciável tal que a sua imagem está contida na intersecção do gráfico de com a superfície . Dê a equação da reta tangente a no ponto .
Passo 1
(a) O enunciado nos dá a equação do plano tangente a em :
Agora não tem mistério, só precisamos da equação do plano tangente, lembra como é? No ponto vai ser:
Os termos multiplicando e são as derivadas parciais:
Logo:
Passo 2
(b) Questão clássica de regra da cadeia: temos uma função e uma função composta . Vamos ter:
Ou, de maneira abreviada:
Temos e
Então vai dar:
E a outra derivada parcial vai ficar assim:
Note que e
Logo:
Show! Obtivemos as expressões em função das derivadas parciais de !
Passo 3
(c)
Queremos a equação da reta tangente a no ponto . Podemos começar calculando o valor de , que tal?
Opa! Já vimos esse antes, lá na equação do plano da letra (a)! Tínhamos
com e
Portanto, a equação fica:
Então queremos a equação da reta tangente a no ponto , ok?
Passo 4
Essa questão é meio confusa: envolve uma curva , uma função (que é composta da ) e uma superfície . Por isso esse passo vai servir de esclarecimento.
Enfim, vamos aos fatos: a imagem de está contida na intersecção do gráfico de com . Logo, no ponto a reta tangente a é paralela ao plano tangente a e ao plano tangente a . Isso significa que a reta tangente a nesse ponto é ortogonal aos vetores normais dos planos tangentes a e a . Deu pra entender? Se a reta é paralela aos planos tangentes, ela vai ser perpendicular aos vetores normais desses planos, certo?
E isso interessa a gente porque podemos achar esses vetores normais. O dado crucial aqui é que o vetor normal ao plano tangente a uma função em é o gradiente da função nesse ponto!
Agora vamos definir algumas coisas pra facilitar nossa vida:
- é a reta tangente a em , que é o que procuramos nessa questão, que tal?
Assim a superfície é definida por
Firmeza, agora vamos às contas!
Passo 5
O plano tangente ao gráfico de no ponto é definido por:
Nem importa a equação completa do plano, o que importa são os termos que multiplicam , e , respectivamente: ; e . Esses 3 termos formam um vetor ortogonal ao plano em , ou seja também ortogonal à . E temos, pela letra b):
Portanto, é ortogonal ao vetor .
Passo 6
Agora vamos à superfície : precisamos calcular o gradiente da em , esse vetor também vai ser ortogonal a .
Passo 7
Tranquilo, achamos 2 vetores ortogonais à reta que procuramos: os vetores e . Então se fizermos o produto vetorial deles, vamos achar um terceiro vetor que é ortogonal a eles dois, que é, portanto, paralelo à reta !
Vamos ao o produto vetorial! Eu sei que tem gente que costuma fazer usando matriz, mas eu geralmente faço assim (é claro que tanto faz, contanto que o resultado seja o mesmo :D):
Logo, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor . Para ficar simplificado, podemos usar o vetor . Lembrando que passa pelo ponto
Então a reta é definida por:
Resposta
a) e
b) e
c)