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P3 de Cálculo 2 da USP - 2013

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Cálculo 2 - USP

Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

S = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 }

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Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

R = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36   e   y ≤ 2 }

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  1. Seja S a superfície de equação 2 x y - 2 y 2 + z 2 + 6 z = 1 . Encontre o plano tangente a S no ponto - 4 , - 1 , - 1 .
  2. Considere a curva C = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 = 1 ,   2 x + 4 y = z 2   e   z < 0 } . Determine e esboce os pontos de C nos quais a reta tangente é paralela ao plano encontrar no item ( a ) .
  3. Encontre uma parametrização para a interseção de S do item ( a ) com o plano x = 3 y .

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Dada a função f x , y = x 3 - 3 x y + y 3 ,

  1. Classifique os pontos críticos de f .
  2. Determine os valores de máximo e de mínimo de f no compacto

R = x , y ∈ R 2 : x y + x + y = 0 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

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