Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Dada a função ,
- Classifique os pontos críticos de .
- Determine os valores de máximo e de mínimo de no compacto
Passo 1
Os pontos críticos de são aqueles nos quais as primeiras derivadas vale . E, para classificá-los, faremos o teste da segunda derivada. Então, vamos começar calculando essas derivadas!
Se nossa função polinomial é:
Então, suas primeiras derivadas parciais são:
E as segundas derivadas parciais são:
Passo 2
Beleza, agora que temos as derivadas parciais, podemos igualar cada uma delas, fazendo um sistema. Se preferir, é o mesmo que dizer que . Fica então assim:
Dividindo cada uma das equações por e jogando o termo negativo pro outro lado, fica:
E aí você escolhe, pegar o da equação de cima e substituir na de baixo ou o da de baixo no da de cima. Como você escolheu a segunda opção (se não escolheu, volte ao início da frase e escolha de novo), vamos resolver a equação:
E podemos passar o pro lado esquerdo:
E colocar o em evidência:
Assim, temos duas opções que fazem a equação valer , ou , ou !
Passo 3
Beleza, como temos essas duas opções para o , então vamos pegar esses valores e jogar de volta no sistema pra pegar os valores de :
Pela equação de baixo, temos, para ,
E para ,
E, por fim, nossos pontos são, para , temos , logo , e para temos , e então . Só pra ficar bonitinho:
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, podemos classificá-los. Para isso, basta fazer o teste da segunda derivada:
Como já calculamos as segundas derivadas no Passo 1, é só colocar no determinante.
Para temos
Beleza, o determinante para deu menor que . Isso significa que ele é um ponto de sela!
Passo 5
Agora calculamos para temos
Beleza, o determinante para deu maior que . Como é , que é maior que , então é um ponto de mínimo!
Passo 6
Segura aí que só falta mais um pouco!! Agora nossa missão é calcular os máximo e mínimos da mesma função, mas na região cercada por:
Vamos resolver essa usando os multiplicadores de Lagrange? O que o método nos diz é que, se tem uma região limitando nossa função , então:
Ou seja, o vetor gradiente da nossa função é múltiplo do vetor gradiente da outra região. Nessa questão, ainda temos a restrição do , dizendo que ele varia entre e (mas vamos encontrar primeiro os pontos, e depois ver de o deles corresponde a esse intervalo).
Passo 7
Como já calculamos as derivadas parciais de no passo , temos que o vetor gradiente dela é:
E agora precisamos calcular o vetor gradiente da função . Bom, como a função é:
Então suas derivadas parciais são:
E seu vetor gradiente é dado por:
Passo 8
Beleza, agora que temos o vetor gradiente das duas funções, é só resolvermos o sistema:
Primeiro, desenvolvendo o determinante, teremos:
Dividindo tudo por , e cortando com ,
Colocando e o em evidência em evidência,
Como ainda não temos nada na forma de produto, o que é crucial para questões de LaGrange (pra gente definir um número pequeno de relações entre e de forma que a equação dê ), vamos fazer algo parecido com o método de completar quadrados. Temos como coeficiente de uma expressão, , e como coeficiente da outra, . O que faremos é juntar esses dois coeficientes como se fossem um só, ficando em que é a expressão que faz esse produto ser equivalente à equação original, .
Então,
Para essa equação valer, então a expressão dentro do dever ter algumas coisas obrigatórias. Como a expressão do meio tem e , então sabemos que deve ter e (para quando multiplicar por e por , aparecerem os cubos). Como na expressão do meio tem e , então deve ter e (para quando multiplicar por e aparecerem os quarados). E, pelo mesmo raciocínio, deve ter , para quando multiplicar por e aparecerem eles mesmos!
Aí você fala, “Mas Patusco, e a cacetada de coisa inútil que vai aparecer, como a gente tira?” Da mesma forma que fazemos para completar quadrados! Se somamos alguma coisa que não era pra estar ali, você subtrai ela pra deixar como era antes! E esse termo que “conserta” a equação é o , pois os outros termos inúteis já se cancelam, porque temos , então esse sinal de menos anula alguns termos opostos. E enfim, nossa equação fica:
E agora temos uma expressão com um produto, que será muito mais útil! Sei que é meio confuso, mas se não tiver ficado claro esse passo é só chamar que a gente bate um papo sobre isso :)
Passo 9
Agora, o que temos que resolver se restringe a:
Mas observe bem, pela própria restrição podemos ver que , e essa expressão aparece no segundo termo do produto da primeira equação! Então na realidade nosso sistema é:
Bem melhor! E agora, para que a equação de cima seja igual a , ou , ou . Só que essa segunda equação são dois números elevados ao quadrado, e ainda somados com um positivo... Então não, não tem como dar ! Sendo assim, da primeira opção, temos que:
Passo 10
Colocando essa relação da equação de baixo, teremos:
Mas, olha lá no enunciado, a região restringe a variável . Então, na verdade , apenas, sem essa outra opção de valer !
Como tínhamos adotado , então nosso ponto candidato é !
Passo 11
Beleza até aqui? Qualquer coisa só falar :)
Já que tocamos no assunto de que nossa região tem uma restrição para o intervalo do , então temos que lembrar dos pontos limites, ou seja, quando está em seu valor máximo ou mínimo. Como a equação da restrição é e varia entre e , então temos, para ,
E o ponto candidato é
Para , teremos:
E o outro candidato é
Passo 12
Finalmente! Reta final! Conseguimos todos os pontos candidatos, e agora é só jogar o valor deles na função e ver qual é o máximo e qual é o mínimo!
Para o ponto
Para o ponto ,
Para o ponto ,
E nossos pontos de máximo são , e o ponto de mínimo é
Resposta
Pontos de máximo são
Ponto de mínimo é