Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de Lagrange
Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de sobre os seguinte conjunto:
Passo 1
Bom, se temos uma questão que nos pede os pontos de máximo e mínimo, a primeira coisa a se perguntar é: Existe alguma restrição? Nesse caso, sim, é exatamente a superfície de ! Então, vamos usar os multiplicadores de LaGrange! As equações que temos são:
E, como sabemos,
Então os passos são só esses mesmo, encontrar os vetores gradientes de e , e resolver o sistema que tá ali em cima :)
Passo 2
Como para resolver o sistema temos que encontrar os vetores gradientes, vamos começar calculando-os!
Para a função , temos que:
E para a função , temos que:
Passo 3
Tranquilo, agora é só colocar essas derivadas parciais no nossos sistema e resolvê-lo!!
Nosso determinante, fica, então:
E se igualarmos cada coordenada do determinante a (coordenadas do vetor nulo), teremos o seguinte sistema:
Passo 4
Beleza, agora para sabemos os possíveis pontos de máximo ou mínimo, é só resolver esse sistema :) Ok, não parece muito fácil... mas convenhamos, temos quadro equações e três incógnitas, não parece impossível!
Vamos começar pela mais simples? Veja que a segunda equação de baixo para cima é:
E passando o pro lado direito, teremos:
E então,
Essa parte é crucial para a questão! Veja que se temos , pode ser tanto como . Por exemplo, se e são iguais a , então vale. Mas se e , a relação continua valendo! Então, temos essas duas opções.
Passo 5
Agora vamos pegar e jogar na primeira equação:
E veja que temos em todos os termos! Podemos então cortá-lo:
E fechamos agora um valor para !
Passo 6
Agora podemos pegar esse valor para , juntamente com a relação que usamos para chegar até ele , e jogar na equação da restrição:
E aí está! Veja que chegamos nesse resultado para usando e a relação , então, nossos pontos são:
Lembrando que e tem sempre o mesmo sentido!
Passo 7
Agora, vamos ver quais pontos conseguiríamos para o caso de . Colocando na primeira equação, teremos:
Cortando o ...
E conseguimos mais um valor para o !
Passo 8
Vamos substituir esse valor na restrição, juntamente com ?
E, assim, com e , temos o ponto !
Mas temos que alertar para uma coisa... Perceba que, na equação da restrição, o está ao quadrado! Assim, como o fato de não influenciou (veja que tivemos , como na outra equação), se fosse , também teríamos encontrado o mesmo resultado! Portanto, os pontos que atendem à restrição são:
Passo 9
Finalmente! Chegou a parte boa da questão, ver quais são os pontos de máximo e de mínimo! Para isso, só substituir os pontos que encontramos na função . Veja só:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
E, assim, nossos pontos de mínimo são , e o ponto de máximo é
Resposta
Os pontos de mínimo são , e o ponto de máximo é