Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de Lagrange
Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de sobre os seguinte conjunto:
Passo 1
Bom, se temos uma questão que nos pede os pontos de máximo e mínimo, a primeira coisa a se perguntar é: Existe alguma restrição? Nesse caso, sim, são as superfícies e ! Então, vamos usar os multiplicadores de LaGrange!
Tome cuidado para não pensar o seguinte, na verdade: temos apenas uma restrição, que é, e então pegamos os pontos nos quais . Isso não está errado, na verdade é basicamente fazer o que fizemos na letra e escolher os pontos com a coordenada menor que 2. Mas para pegarmos toda a gama de pontos possíveis, temos que considerar os pontos que tem a coordenada , inclusive! Por isso vamos usar LaGrange com duas restrições, sendo uma delas esse plano ;)
Chamando de a superfície e de a superfície , as equações que temos são:
Lembrando que essas derivadas do determinante são as componentes dos vetores gradiente!
Então os passos são só esses, encontrar os vetores gradientes de , e , e resolver o sistema que tá ali em cima :)
Passo 2
Como para resolver o sistema temos que encontrar os vetores gradientes, vamos começar calculando-os!
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais da primeira restrição:
E da segunda restrição:
Passo 4
E podemos prosseguir colocando os valores das derivadas parciais no determinante do passo 1:
E o determinante é:
Como , temos a seguinte relação:
Ou seja, temos duas opções, ou , ou ;)
Passo 5
Beleza, e o que faremos agora? Vamos substituir essa relação na primeira restrição, pois já temos da segunda que ! Nesse caso, apenas, quando e estão ao quadrado, não precisamos abrir em dois, pois mesmo com sinais diferentes, depois que elevamos ao quadrado eles ficam com valores iguais. Depois que encontrarmos o valor de , aí sim precisaremos abrir no resto dos casos... Enfim, teremos, na segunda restrição:
Com (segunda restrição) e ,
Beleza, agora que conseguimos esses dois valores para , podemos definir os valores que assume. Lembrando que, para, por exemplo, , pode ser tanto como , ao todo termos quatro pontos:
Passo 6
Ok, mas isso que conseguimos são só os pontos que tem coordenada , obrigatoriamente! E aqueles que estão cercados pela mesma região, mas com coordenadas menores que ? Bom, agora temos aquele caso, de apenas uma restrição, que é, e selecionamos os pontos que tem !
Mas como era exatamente isso que a letra pedia, vamos pegar os pontos que conseguimos da letra cuja coordenada é menor que . Se você veio pra cá direto, dá um clique ali em cima da barra de exercícios e veja como conseguimos os pontos candidatos a máximo e mínimo para essa questão, item :
PS: não pegamos o ponto pois só interessa os que tem !
E juntando com os pontos que conseguimos agora na letra , teremos:
Ao todo, pontos!
Passo 7
Agora que temos os pontos todos, vamos substituí-los na equação de , e ver quais são de máximo e quais de mínimo!
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
E lembrando que, da letra ,
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Para o ponto , teremos:
Então, concluímos que são os pontos de máximo e são os pontos de mínimo ;)
Resposta
são os pontos de máximo e são os pontos de mínimo