P3 de Cálculo 3 da UNICAMP - 2011.1 - Noturno

Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

Suponha que e são soluções da EDO

Você pode dizer se o ponto é um ponto ordinário ou singular? Justifique!

Encontre uma representação em série de potências para a função

(Sugestão: Derive a função )

Dado que

e solução da equação do calor

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

Considere a equação diferencial

Mostre que é um ponto singular da equação.

Determine a equação indicial e suas raízes (os expoentes de singularidade).

Determine a solução em série de Frobenius (em torno de ) correspondente à maior raiz da equação indicial, expressando a relação de recorrência e o termo geral da série.

Determine uma sequência de soluções

linearmente independentes, da equação da onda

satisfazendo a condição de contorno

e a condição inicial

().

Seja a função dada por

Construa a extensão par e periódica de para toda a reta , com período , e calcule a série de Fourier desta extensão.

Quanto vale esta série nos pontos e ?

Não esqueça a justificativa.

Tomando , calcule o valor da série