(c) Determine uma sequência de soluções

u_n(x, t), n = 1, 2, ...

linearmente independentes, da equação da onda

u_tt - a^2 * u_xx = 0

satisfazendo a condição de contorno

u(0, t) = u_x(0, t) = 0, t > 0

e a condição inicial

u(x, 0) = 0, 0 < x < L

( L > 0 ).

Passo 1

Vamos resolver o problema por separação de variáveis:

u x , t = X x T t

Com a separação, teremos:

u t t x , t = X ( x ) T ' ' ( t )

  u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Passo 2

Portanto, nossa equação se torna

u t t - a 2   u x x = 0

X x T ' ' t - a 2 X ' ' x T ( t ) = 0

X x T ' ' t = a 2 X ' ' x T ( t )

T ' ' ( t ) a 2 . T t = X ' ' ( x ) X ( x ) = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

X ' ' x + λ X x = 0 T ' ' t + a 2 λ T t = 0

o que separa a EDP em um sistema de EDOs.

Passo 3

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 4

Para as condições de contorno:

u 0 , t = u x 0 , t = 0 ,     t > 0

Isto é,

u 0 , t = X 0 T t = 0

u x 0 , t = X ' 0 T t = 0

Como T t ≠ 0 , devemos ter

X 0 = X ' 0 = 0

Assim,

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

X 0 = C 1 = 0

Além disso,

X ' ( x ) = - C 1 λ  sen ⁡ λ x + C 2 λ  cos ⁡ λ x

X ' x = C 2 λ  cos ⁡ λ x

X ' 0 = C 2 λ = 0

Note que, na última equação, se C 2 = 0 ou λ = 0 , vamos acabar obtendo a solução trivial X x = 0 . E agora?!

Então X x = 0 e acabamos encontrando u x , y = 0 como a única solução do problema.

Resposta

u x , y = 0

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