Equação de onda
Determine uma sequência de soluções
linearmente independentes, da equação da onda
satisfazendo a condição de contorno
e a condição inicial
().
Passo 1
Vamos resolver o problema por separação de variáveis:
Com a separação, teremos:
Passo 2
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
o que separa a EDP em um sistema de EDOs.
Passo 3
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
E a solução geral é da forma
Passo 4
Para as condições de contorno:
Isto é,
Como , devemos ter
Assim,
Além disso,
Note que, na última equação, se ou , vamos acabar obtendo a solução trivial . E agora?!
Então e acabamos encontrando como a única solução do problema.
Resposta
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