Solução de EDO – ponto singular
Suponha que e são soluções da EDO
Você pode dizer se o ponto é um ponto ordinário ou singular? Justifique!
Passo 1
Pensa comigo, vai?
Se o ponto for ordinário, as duas soluções por séries serão do tipo
Mas se ele for singular, as soluções devem ser do tipo
Passo 2
Como são necessárias duas condições para resolver este problema, em ponto ordinário a relação de recorrência deve aparecer de dois em dois. Isto é,
Beleza, com isso é estranho termos soluções do tipo e . Quero dizer, se a relação de recorrência é de dois em dois, então e deveriam pertencer à mesma solução. Além disso, como poderia ser solução, sem os termos de ordem mais baixa ...?
Passo 3
Então, me parecem que elas são solução de um problema de ponto singular. E digo mais, com e . Vamos testar?
Oras, se isso for verdade, então e todos os demais coeficientes serão nulos:
Lembre-se também que a relação de recorrência é de um em um agora (uma relação para cada série). Mas ela pode ser tal que a partir de e de todos os termos sejam nulos, sem problema nenhum...
Logo, o ponto deve ser singular!
Resposta
Singular.