Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

Ver Teoria
Exercício 7123456891011121314151617181920212223242526272829303132

Enunciado

Séries de Taylor

Encontre uma representação em série de potências para a função

g x = ln ⁡ ( x 2 + 3 )

(Sugestão: Derive a função g )

Passo 1

Vamos usar a sugestão e derivar g (lembre-se da Regra da Cadeia):

g ' x = 2 x x 2 + 3

Passo 2

Ok, agora, vamos escrever assim:

g ' x = 2 3 x 1 + x 2 3

Correto?

Daí, a gente se lembra da série geométrica, olha que legal:

∑ n = 0 ∞ w n = 1 1 - w ,     w < 1

E substituímos w = - x 2 / 3 :

∑ n = 0 ∞ - x 2 3 n = 1 1 + x 2 3

com - x 2 3 < 1 → x < 3 .

Passo 3

Então já temos uma série que forma

1 1 + x 2 3

Agora vamos compor o que falta com 2 x / 3 :

g ' x = 2 3 x 1 + x 2 3

g ' x = 2 3 x   ∑ n = 0 ∞ - x 2 3 n

Passo 4

Vamos rearrumar esse somatório...

∑ n = 0 ∞ - x 2 3 n = ∑ n = 0 ∞ x 2 n - 1 3 n

Logo:

g ' x = 2 3 x   ∑ n = 0 ∞ x 2 n - 1 3 n

g ' x = 2 3   ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 - 1 3 n

Passo 5

O último passo é recuperar g ( x ) :

g x = ∫     g ' x d x

g x = ∫     2 3   ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 - 1 3 n d x

g x = 2 3 ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 x 2 n + 2 - 1 3 n

g x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 ( n + 1 ) x 2 n + 2 - 1 3 n

Lembremos, também, que a expressão é válida para | x | < 3 .

Resposta

g x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 ( n + 1 ) x 2 n + 2 - 1 3 n , x < 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?23. f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x
Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 )
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 ( x 2 ) d x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 t g - 1 ( x 3 )
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.18. f x = x 2 - x 3 0