P3 de Cálculo 3 da UNICAMP - 2010.2

Determine se a série

é convergente ou divergente explicitando o teste utilizado.

Mostre que a sequência

é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não esqueça de justificar.)

Calcule a série de Maclaurin da função

Ou seja, escreva como uma série de potências

e, usando o Teste da Razão, determine o raio de convergência desta série. Determine também o seu intervalo de convergência.

Calcule a matriz fundamental do sistema

Tal que , i.e. .

Calcule uma função (vetorial) tal que seja uma solução particular do sistema (não-homogêneo).

Dados: , .

Justifique porque não é um ponto ordinário para a equação

Mesmo assim, sem calcular, justifique por que ela possui uma solução em série de potências

e estime o raio de convergência de uma série destas. Calcule uma solução destas, determinando os coeficientes pelo menos para .

Dê a forma de uma segunda solução linearmente independente da solução mencionada no item a), num intervalo aberto contendo . (Não precisa calcular esta segunda solução. Apenas dê a forma. Não se esqueça de justificar.)

Mostre que uma função de variáveis separadas

é uma solução da EDP

() se, e somente se, e são soluções das EDOs

para uma constante arbitrária .

Supondo , obtenha a solução do PVIC

pelo método de separação de variáveis, ou seja, usando o resultado do item a), determine funções

satisfazendo a EDP e a condição de contorno

tal que

seja solução, com os coeficientes dados em termos da função .

Calcule a série de Fourier em senos no intervalo da função , ou seja, calcule tal que

Para . Justifique porque esta igualdade vale para todo .

Dado: .

A série

é convergente? Caso positivo, calcule a sua soma (o limite das somas parciais).

Calcule o limite da sequência

se ela for convergente.