Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

Ver Teoria
Exercício 27123456789101112131415161718192021222324252628293031323334353637383940414243444546

Enunciado

Equação de calor

( b ) Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

Passo 1

Bom, agora temos a equação de calor

u t - u x x = 0   →       u t = u x x

e uma solução

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

podemos afirmar que uma combinação linear de u n também será solução:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n u n x , t

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

Passo 2

Vamos testar as condições iniciais e de contorno:

u 0 , t = 0 → X 0 T t = 0       ( I )

u 40 , t = 0 → X 40 T t = 0       ( I I )

Como T t ≠ 0 , então X ( 0 ) = X 40 = 0 .

Legal! Ambas as condições já são satisfeitas pois s e n   0 = 0 e s e n   n π = 0 pois n é inteiro.

Passo 3

Vamos pra próxima:

u x , 0 = f x ,     0 < x < 40

Okay, então façamos t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n   s e n π n x 40

Então esta deve ser a Série de Fourier de f ( x ) , com uma extensão ímpar (pois a série é em senos). Então, mãos à obra! Essa extensão será dada por:

f x = - 50 ,       - 30 ≤ x ≤ - 10 50 ,               10 ≤ x ≤ 30 0 ,       s e       - 40 ≤ x < 30 - 10 < x < 10 30 < x < 40             e                 f x + 80 = f ( x )

Passo 4

Essa função tem período T = 2 L = 80 , logo L = 40 . Beleza, vamos achar os coeficientes da série d n . Ok, você pode chama-los de b n ...

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 40 ∫ - 40 40 f x sen ⁡ n π x 40 d x

Mas calma aí pequeno gafanhoto, f ( x ) e s e n n π x 40 são funções ímpares, logo seu produto é par. Então vamos simplificar a integral...

b n = 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x

b n = - 2.50 40 40 n π c o s n π x 40 10 30

b n = - 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4

Passo 5

Mas vamos olhar pra esses cossenos: se n for par ( n = 2 k ), então

cos ⁡ 3.2 k . π 4 - cos ⁡ 2 k π 4 = cos ⁡ 3 k π 2 - cos ⁡ k π 2

E essa diferença vai ser sempre 0 . Viu?

Agora se n é ímpar, n = 2 k + 1 , k ∈ Z + .

cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

E tudo se reduz a

b 2 k + 1 = - 100 ( 2 k + 1 ) π - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

b 2 k + 1 = 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

Passo 6

Assim:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ d 2 k + 1   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

Resposta

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x L , equ
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Encontre a solução do problema de condução de calor 100 u x x = u t ,0x1 ,t0 ; u ( 0 , t ) = 0 ,u ( 1 , t ) = 0 ,t0 ; u ( x , 0 ) = s e n 2 π x - s e n 5 π x ,0 ≤ x ≤ 1