Séries de Fourier
Seja a função dada por
Construa a extensão par e periódica de para toda a reta , com período , e calcule a série de Fourier desta extensão.
Quanto vale esta série nos pontos e ?
Não esqueça a justificativa.
Tomando , calcule o valor da série
Passo 1
Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período . Isto é, . Portanto, .
A extensão par é obtida espelhando-se a função:
Passo 2
A série é dada por cossenos (já que ela é par):
Vamos avaliar os coeficientes da série:
Passo 3
Para o termo geral , temos:
Vamos resolver logo por integração por partes...
Passo 4
Então, temos o seguinte:
Passo 5
Mas sabemos que
Vamos obter
Passo 6
Agora note que para par, o seno se anula; para ímpar é o cosseno que se anula.
E, assim, temos:
Passo 7
Nos pontos e , a série converge para:
Passo 8
Vamos tomar :
Agora veja que se for ímpar, o cosseno é zero. Então vamos tomar só os casos em que seja par:
Mas é par, isto é, , :
Passo 9
De novo, olha aí que , então o termo
será
Aí fica assim: .
Passo 10
Mas como vimos que, em , a série converge para , teremos:
E basta trocar por para vermos que o somatório que buscamos se iguala a .
Resposta
Extensão:
Série de Fourier: ;
; .