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P2 de Cálculo 3 da USP - 2013

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Cálculo 3 - USP

Seja F → x , y = x y 2 - x 4 y i → + x 2 y - 2 x 3 3 + 2 x + x y 2 j → . Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes γ : a , b → R 2 tal que ∫ γ   F → d r → = 0 .

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Um fio tem o formato da curva { x , y   ϵ   R 2 : x - 2 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 } . Se sua densidade de massa é dada por δ x , y = x 2 + y 2 , determine a massa total do fio.

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  1. Verifique que o campo vetorial em R 3

    2. F → x , y , z = 2 x cos ⁡ y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos ⁡ z

    É conservativo e determine um potencial para F → .

  2. Calcule a integral de linha

∫ γ   2 x cos ⁡ y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos ⁡ z d z

o n d e   γ   é   a   c u r v a x = 2 e t 2 - 1 arctan ⁡ t     y = π t 2 ,             0 ≤ t ≤ 1 z = 1 - t 4                                    

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Calcule a integral de linha ∫ C   17 x y + 3 x 4 d x + [ 27 + 5 y 6 1 / 3 + 2 x 2 ] d y , onde C   é o arco de elipse x 2 4 + y 2 = 1 com y ≥ 0 , orientada de ( - 2,0 ) a ( 2,0 ) .

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Calcule ∫ γ   - y d x + x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a curva dada por x 2 + y 2 = 9 , x ≥ 0 , orientada de ( 0,3 ) a ( 0 , - 3 ) .

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Listas de Exercícios Resolvidos

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