Teorema de Green
Seja . Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes tal que .
Passo 1
Bom, como não temos a expressão de uma curva e o enunciado fala sobre integral de linha sobre uma curva fechada, vamos tentar aplicar o Teorema de Green. Primeiramente, vamos calcular o rotacional do campo:
Passo 2
Sendo assim, considerando uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:
Ok, o problema quer que a gente mostre que:
Vamos então analisar essa função que vamos integrar: . Beleza, vamos tentar mexer nisso aqui. Repare que podemos escrever>
E o menor valor que essa função pode assumir é quando (ou ) e :
Se por acaso for , temos .
Se for negativo, o valor da função também não decresce, porque está elevado ao quadrado e um número negativo ao quadrado é um número positivo.
Portanto, o menor valor é e ocorre nos valores de e que falamos acima, fora isso a função só cresce.
Podemos dizer então que:
Tá e no que isso nos ajuda? Olha só, podemos escrever:
Porque? Simplesmente porque a integral dupla de sobre é a área da região , que não pode ser negativa, certo??
Temos então o seguinte:
Pronto, provamos o que o problema pediu!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)