Integrais de linha – caso escalar
Um fio tem o formato da curva . Se sua densidade de massa é dada por , determine a massa total do fio.
Passo 1
O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa . Sendo um comprimento infinitesimal do fio e o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:
Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva que representa o fio, temos o seguinte:
Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.
Passo 2
Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva né? Temos a seguinte equação:
Bom, isso aí é uma circunferência centrada em , não é? Vamos usar coordenadas polares então:
Nós somamos esse termo na coordenada porque ele vai fazer desaparecer o na equação da circunferência. Isso nos leva à identidade .
Beleza, mas o raio da circunferência é , não é? Então vamos substituir :
Logo, uma parametrização para a nossa curva seria
Como temos , sabemos que se trata de meia volta na circunferência, logo, .
Passo 3
Vamos, agora, calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo em função de , nosso parâmetro:
Com a parametrização, a função que vamos integrar
Passa a ser
Então a integral fica
Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para na parametrização!
Passo 6
Agora falta resolver a integral né?