Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C   17 x y + 3 x 4 d x + [ 27 + 5 y 6 1 / 3 + 2 x 2 ] d y , onde C   é o arco de elipse x 2 4 + y 2 = 1 com y ≥ 0 , orientada de ( - 2,0 ) a ( 2,0 ) .

Passo 1

Para escrever a curva na forma paramétrica teríamos que usar senos e cossenos, o que tornaria a integral muito complicada. Portanto, calcular essa integral pela definição está fora de cogitação! Vamos tentar usar o Teorema de Green aqui então.

O campo vetorial da questão pode ser escrito como F = 17 x y + 3 x 4 , 27 + 5 y 6 1 / 3 + 2 x 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = 4 x

∂ F 1 ∂ y = 17 x

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 13 x

Essa é uma expressão simples, quer dizer que estamos no caminho certo!

Passo 2

Beleza, vamos aplicar Green então, mas em que região? Precisamos fechar o arco da elipse x 2 4 + y 2 = 1 de alguma forma, vamos tentar o mais simples: uma reta:

Cuidado com a orientação das curvas. O arco de elipse está com a orientação trocada, então vamos fazê-lo com a orientação de 2,0 para - 2,0 e depois é só trocar o sinal. O novo gráfico vai ficar

Agora podemos aplicar Green:

- ∫ C   F ⋅ d r + ∫ r   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D   - 13 x   d x d y

- ∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   - 13 x   d x d y - ∫ r   F ⋅ d r

Onde r é a reta do desenho que vai de - 2,0 à 2,0 e D é a região entre a elipse e a reta.

Eu coloquei aquele na integral de C porque estamos fazendo com a orientação trocada ao pedido no enunciado.

Passo 3

Como a região D está compreendida entre um arco de elipse e uma reta, a melhor saída aqui são as coordenadas elípticas. Faremos:

x = 2 r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = 2 r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ π , o que equivale a 1 / 2 de elipse. Os valores de r variam entre a origem e a elipse, logo 0 ≤ r ≤ 1 . Temos, então:

∬ D   - 13 x   d x d y = - 13 ∫ 0 π ∫ 0 1 2 r cos ⁡ θ 2 r   d r d θ

= - 52 ∫ 0 π ∫ 0 1 cos ⁡ θ r 2   d r d θ =

Integrando isso aqui, temos:

= - 52 ∫ 0 π r 3 3 cos ⁡ θ 0 1 d θ =

= - 52 3 ∫ 0 π cos ⁡ θ d θ =

= - 52 3 s e n   θ 0 π = 0

Logo, temos:

- ∫ C   F ⋅ d r = 0 - ∫ r   F ⋅ d r

- ∫ C   F ⋅ d r = - ∫ r   F ⋅ d r

∫ C   F ⋅ d r = ∫ r   F ⋅ d r

Passo 4

Agora precisamos parametrizar essa reta que criamos.

Temos uma reta que pertence ao eixo x , portanto, podemos parametrizá-la assim:

r → y = ( x , 0 )

Pela figura, como vamos fazer no sentido contrário ao dela para ter orientação positivos, vemos que x vai de - 2 até 2 .

Passo 5

Vamos agora derivar essa parametrização:

r → ' y = ( 1,0 )

Passo 6

Agora vamos substituir esses valores na fórmula:

∫ a b F x x ,   y x ⋅   σ → '   d x

Aplicando a parametrização na expressão do campo:

F x x , y x = 3 x 4 , 27 1 / 3 + 2 x 2

A integral fica:

= ∫ - 2 2 3 x 4 , 27 1 / 3 + 2 x 2 ⋅ ( 1,0 )   d x =

= 3 ∫ - 2 2 x 4   d x =

= 3 x 5 5 - 2 2 =

= 192 5

Como

∫ C   F ⋅ d r = ∫ r   F ⋅ d r

Temos a integral que queremos

∫ C   F ⋅ d r = 192 5

Lembrando que

Resposta

192 5

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2