Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Função Potencial

Ver Teoria
Exercício 121123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Teorema de Stokes, Campos conservativos

  1. Verifique que o campo vetorial em R 3

    2. F → x , y , z = 2 x cos ⁡ y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos ⁡ z

    É conservativo e determine um potencial para F → .

  2. Calcule a integral de linha

∫ γ   2 x cos ⁡ y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos ⁡ z d z

o n d e   γ   é   a   c u r v a x = 2 e t 2 - 1 arctan ⁡ t     y = π t 2 ,             0 ≤ t ≤ 1 z = 1 - t 4                                    

Passo 1

Letra a)

Vamos calcular o rotacional desse campo:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = x - 2 π cos ⁡ z - x + 2 π cos ⁡ z ,   y - y ,   z - 2 x   s e n   y + 2 x   s e n   y - z = ( 0,0 , 0 )

Pronto, provamos que o campo é conservativo.

Passo 2

Agora vamos calcular a função potencial desse campo. Você tambem pode provar que o campo é conservativo calculando sua função potencial direto, a escolha é sua!

Vamos lá, temos:

F → = ∇ f

Onde ∇ é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

2 x cos ⁡ y + y z ,   x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z ,   x y + 2 y π cos ⁡ z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

∂ f ∂ x = 2 x cos ⁡ y + y z → f x , y , z = x 2 cos ⁡ y + x y z + M ( y , z )

∂ f ∂ y = x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z   → f x , y , z = x y z + x 2 cos ⁡ y + 2 y π s e n   z + P ( x , z )

∂ f ∂ z = x y + 2 y π cos ⁡ z   → f x , y , z = x y z + 2 y π s e n   z + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

f x , y , z = x 2 cos ⁡ y + x y z + 2 y π s e n   z + k

Ou seja:

M y , z = 2 y π s e n   z

P x , z = 0

Q x , y = x 2 cos ⁡ y

Passo 3

Letra b)

Agora o problema nos pede a integral de linha

∫ γ   2 x cos ⁡ y + y z d x + x z - x 2 s e n   y + 2 π s e n   z d y + x y + 2 y π cos ⁡ z d z

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

∫ γ   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial. Como o problema define a curva assim:

  γ = x = 2 e t 2 - 1 arctan ⁡ t     y = π t 2 ,             0 ≤ t ≤ 1 z = 1 - t 4                                    

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 0 ,   0 ,   1 )

Para B , temos t = 1 :

π 2 , π 2 , 0

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f 0,0 , 1 = 0 + k

f π 2 , π 2 , 0 = 0 + 0 + 0 + k

Logo,

∫ γ   F . d r = 0 - 0 = 0

Resposta

  1. f x , y , z = x 2 cos ⁡ y + x y z + 2 y π s e n   z + k
  2. 0

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen ⁡ x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2