Considerar a série de potências
- Determinar o raio de convergência e estudar o comportamento da série nos valores extremos do intervalo aberto de convergência absoluta.
- Calcular a função que representa a série no intervalo aberto de convergência absoluta. Sugestão: Usar os resultados de derivação e integração termo a termo e lembrar que uma primitiva da função é dada por .
Passo 1
Vamos usar o teste da razão para séries de potência para calcular o raio de convergência.
Calculando o limite
Logo o raio de convergência será .
Passo 2
Como a série é centrada no zero temos que o intervalo de convergência absoluta vai de -1 a 1. Dessa forma devemos analisar a convergência nas extremidades do intervalo aberto.
Para
Analisando o termo geral da sequência temos que
Como a série abaixo converge.
Temos que, pelo teste da comparação, a série irá convergir para .
Passo 3
Para teremos a série alternada abaixo.
Temos que conferir o critério de Leibniz para descobrirmos a convergência dessa sequência. Usando os mesmos e que já escrevemos.
Com uma simples análise dos termos fica evidente a validade dos critério de Leibniz, logo a série será converge em .
Para determinarmos se a série é absolutamente convergente teremos que olhar a sequência dos valores absolutos que trata-se justamente da sequência analisada no passo 2. Fica então evidente que a série é absolutamente convergente em .
Passo 4
Para o item b vamos seguir a sugestão do problema e calcular a primeira e segunda derivadas da função
Da série de nós já sabemos do nosso conhecimento de séries geométricas que
Então temos a seguinte EDO
E analisando , temos que
Passo 5
Resolvendo a EDO abaixo
Temos
Agora teremos a seguinte EDO
Resolvendo essa Edo bem simples teremos
Resposta
a)Raio de convergência 1 e a série converge em e converge absolutamente em
b)