Considere a equação de Chebyshev:

Onde é uma constante inteiro não-negativo.

1. Justificar que é um ponto ordinário de (1).
2. Determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução de (1), dada em série de potências em torno de .
3. Determinar a relação de recorrência que satisfazem os coeficientes da solução em série de potências citadas no item b.
4. Considerar e determinar as soluções de (1), em série de potências, que verificam a condição .

b)

Aqui nós vamos usar um pulo do gato muito legal para achar essa cota inferior utilizando aquele que a gente definiu. Primeiro devemos encontrar as raízes de .

Já sabemos que as raízes desse polinômio são 1 e -1 e tá na hora do pulo do gato. A cota inferior do raio de convergência vai ser a menor distancia de uma das raízes até o nosso ponto ordinário que implica em .

c)

Vamos tomar a seguinte série de potencias como solução da nossa EDO

Disso nós teremos as seguintes derivadas

Substituindo esse valores na nossa EDO teremos

Ajustando os índices para só termos séries com

Temos que para a igualdade que encontramos ser sempre igual a zero temos que

Como queremos a relação de recorrência vamos pegar somente a última equação. Manipulando ela temos.

Um detalhe importante é que essa nossa equação teoricamente seria válida para , mas observe o que acontece quando fazemos e nela.

Então, na verdade, essa equação que encontramos é válida para todo .

d)

Pelo teorema de Taylor teremos que . Sendo assim, vamos analisar os coeficientes de índice impar.

Cada termo impar é uma constante multiplicado pelo impar anterior, o que leva, consequentemente, que todos sejam iguais a zero.

Analisemos os termos pares agora

Todos os termos pares depois do serão uma constante multiplicada pelo termo anterior, que será zero. Logo só temos os termos . Usando isso na nossa equação teremos.