Seja e considerar a equação de Euler:
- Determinar a solução geral de (2)
- Determinar os valores de para os quais todas as suas respectivas soluções , encontradas em a), satisfazem a condição: .
Passo 1
a)
Como temos uma equação de Euler, temos que procurar soluções do tipo . Vamos calcular as derivadas e substituir na nossa equação.
Jogando na equação
Colocando em evidência.
Passo 2
Como , temos a nossa equação característica
Agora temos que analisar os dois casos possíveis para , uma vez que é impossível .
Passo 3
Caso :
Nesse caso teremos uma raiz dupla que será e já sabemos que quando temos uma raiz dupla, nós teremos uma solução do seguinte tipo:
Logo nesse caso teremos
Passo 4
Caso :
Nesse caso teremos duas raízes distintas que serão e e já sabemos que temos uma solução do seguinte formato quando temos duas raízes distintas.
Logo nesse caso teremos:
Passo 5
b)
No primeiro caso teremos
Isso só será verdade se , ou seja a solução nula.
Passo 6
No segundo caso teremos
Isso só será verdade se ou . De qualquer forma teremos soluções que não satisfazem essa condição
Logo não existe valore real de que satisfaça a propriedade exigida.
Resposta
- Para
- Não existe valor real de que satisfaça a propriedade exigida.
Para