P2 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2019.1

Sejam e duas v.a.’s discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .

A duração , de componentes eletrônicos, é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

Pede-se:

1. Determine a densidade da v.a.
2. Calcular e , para . Detalhe todos os cálculos para chegar ao valor final

Sejam e duas v.a.’s contínuas, das quais se conhece:

Pede-se:

1. Calcule a média condicional de dado . Qual é a média condicional de dado .
2. Calcule a variância condicional de dado . Qual é a variância condicional de dado .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Os resultados de uma pesquisa que mediu a altura dos alunos da PUC-Rio, sustentam a hipótese de que a altura de um aluno, sorteado aleatoriamente, é uma variável aleatória Normal com média 1,71m e desvio padrão 0,04m. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

a) Qual é o percentil de 80% da altura dos alunos da PUC-Rio?

b) Qual a probabilidade de algum aluno selecionado ao acaso, ter altura entre 1,68m e 1,76m?

c) Se selecionarmos 12 alunos ao acaso e de maneira independente, qual é a probabilidade que a altura média deles seja superior a 1,70m?

d) Considerando a mesma amostra de 12 alunos da questão c), qual a probabilidade de que a maior altura da amostra não exceda 1,70m?

Observação:

- Mostre todos os passos da solução.

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Sejam e variáveis aleatórias discretas com a seguinte função de probabilidade conjunta:

Pede-se:

Calcular a covariância de e , , e o coeficiente de correlação detalhando seus passos para a obtenção de cada termo.

a) Suponha que e sejam variáveis aleatórias contínuas, prove que .

Observação: podemos dizer que é uma variável aleatória, que é uma função de .

b) Seja , , ..., uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição . Se , qual a distribuição de e de ?