Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – P2
A duração , de componentes eletrônicos, é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.
Pede-se:
- Determine a densidade da v.a.
- Calcular e , para . Detalhe todos os cálculos para chegar ao valor final
Passo 1
Como a questão já nos deu a função, vamos começar fazendo esta transformação de variáveis aleatórias contínuas. Para isto, vamos utilizar o método do jacobiano, que nos diz que:
Sendo a função probabilidade que desejamos encontrar.
Nosso trabalho consiste em basicamente determinar quem é o termo . Para isto, vamos relembrar qual é a transformação que queremos fazer:
Agora, precisamos escrever como uma função de . Isto é, vamos isolar o termo em um dos membros. Portanto:
Agora sim. Vamos derivar esta nossa função! Aplicando a regra da cadeia (derivada da função mais de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro), temos:
Pronto, a nossa função é então:
Como é sempre positivo, pois estamos dentro de uma raiz quadrada (que é sempre positiva), podemos tirar o módulo. Portanto,
E paramos por aqui?
Passo 2
Agora é o detalhe para finalizarmos a questão com chave de ouro. Vamos relembrar a nossa que obtivemos:
Opa, olhando claramente vemos um pequeno problema. Não é que temos um ali no meio de penetra? Temos que tomar cuidado para que isto não ocorra. Precisamos substituir este pelo respectivo em . Isto é, . Portanto, a nossa verdadeira função é:
Lembrando, a nossa função era a como dada na questão existia para . Para valores de , o valor dele na verdade era 0 (implícito).
Portanto, a função densidade da variável aleatória será essa para . Para valores de , o valor da nossa função é igual a 0! Podemos melhor escrever a nossa função então da seguinte forma:
E esta é a função densidade da variável aleatória !
Passo 3
Vamos agora calcular a probabilidade de dois eventos: e para a nossa função obtida anteriormente. Só que agora, iremos considerar . Fazendo esta substituição na função, para , temos:
Agora, basta integrarmos a nossa no intervalo dado. Vamos calcular primeiro . Portanto,
Portanto, a probabilidade .
Agora, vamos fazer o mesmo procedimento para . Portanto,
Eita, a probabilidade foi 0! Mas por que isto ocorreu? Simplesmente porque o valor da função neste intervalo é zero!
Desta forma, finalizamos a nossa questão!
Resposta
- e .