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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Enunciado

Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – P2

Sejam X e Y duas v.a.’s contínuas, das quais se conhece:

f x , y = x ⋅ y 3 + x 2 ,   o n d e   0 < x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 2

f x x = 2 x 2 + 2 ⋅ x 3 ,   o n d e   0 < x ≤ 1

f y y = 1 3 + y 6 ,   o n d e   0 ≤ y ≤ 2

Pede-se:

  1. Calcule a média condicional de X dado Y = y . Qual é a média condicional de X dado Y = 1,4 .
  2. Calcule a variância condicional de X dado Y = y . Qual é a variância condicional de X dado Y = 1,4 .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Passo 1

Temos um problema que envolve função de densidade conjunta de variáveis aleatórias contínuas. Então, temos que trabalhar com toda a formulação para variáveis contínuas.

O primeiro ponto que a questão nos pergunta é a média condicional. Em outras palavras, seria a esperança condicional de X . Inicialmente, não fixaremos o valor de Y . Somente, depois iremos dar um valor Y = 1,4 .

E como calculamos uma esperança condicional então? Basta resolvermos a seguinte fórmula:

E X y = ∫ - ∞ ∞ x f X | Y x y d x

Complicado, não é? Então vamos fazer bem devagar. Passo a passo!

Passo 2

Vamos começar determinando f X | Y x y . Mas quem é este termo? Qual o nome especial que ele leva?

Ele é nada mais e nada menos que a densidade condicional de X dado Y = y . Portanto, temos uma densidade condicional aqui. E ele é calculado através da seguinte relação:

f X | Y x y = f x , y f X x

Eita, e agora? Precisaremos calcular a densidade marginal f X x ? Nãoooo! Já foi dado pela questão! Agora é só substituirmos as relações do enunciado na fórmula de f X | Y x y . Portanto,

f X | Y x y = x ⋅ y 3 + x 2 2 x 2 + 2 ⋅ x 3

Vamos simplificar esta nossa função. Portanto,

f X | Y x y = x ⋅ y 3 + x 2 2 x 2 + 2 ⋅ x 3 = x y + 3 x 2 3 6 x 2 + 2 x 3 = x y + 3 x 2 6 x 2 + 2 x

Agora, vamos colocar o termo x em evidência no numerador e 2 x em evidência no denominador. Com isto, obtemos:

f X | Y x y = x y + 3 x 2 6 x 2 + 2 x = x y + 3 x 2 x 3 x + 1 = y + 3 x 2 3 x + 1

Passo 3

Agora que obtemos a densidade condicional, podemos ir para o cálculo da esperança. Portanto,

E X y = ∫ - ∞ ∞ x f X | Y x y d x = ∫ 0 1 x y + 3 x 2 3 x + 1 d x

Mudamos os limites de integração pois a nossa função só assume valores no intervalo 0 < x ≤ 1 . Agora, precisamos resolver esta integral. Para isto, vamos fazer uma mudança de variáveis.

Seja u = 3 x + 1 . Então, d u = 3 d x . Além disto, 3 x = u - 1 . Para finalizarmos a mudança de variáveis, basta mudar os limites de integração também. Quando x = 0 ⟹ u = 1 e, quando x = 1 , u = 4 .

Agora, vamos transformar o nosso integrando. Portanto,

x y + 3 x 2 3 x + 1 = u - 1 3 ⋅ y + u - 1 2 u = 1 6 ⋅ u - 1 ⋅ u + y - 1 u

Multiplicando os termos do numerador, temos:

1 6 ⋅ u 2 + u y - u - u - y + 1 u = 1 6 ⋅ u 2 + u y - 2 u - y + 1 u

Dividindo o numerador por y , temos:

1 6 ⋅ u + y - 2 + 1 - y u

Logo, a nossa integral se transforma em:

E X y = ∫ 0 1 x y + 3 x 2 3 x + 1 d x = ∫ 1 4 1 6 ⋅ u + y - 2 + 1 - y u d u 3

E X y = 1 18 ⋅ ∫ 1 4 u + y - 2 + 1 - y u d u

E X y = 1 18 ⋅ u 2 2 + u y - 2 + 1 - y ln ⁡ u 1 4

E X y = 1 18 ⋅ 8 + 4 y - 2 + 1 - y ln ⁡ 4 - 1 2 + 1 y - 2 + 1 - y ln ⁡ 1

E X y = 1 18 ⋅ 8 + 4 y - 8 + 1 - y ln ⁡ 4 - 1 2 + y - 2 + 1 - y 0

E X y = 1 18 ⋅ 4 y + 1 - y ln ⁡ 4 - y + 3 2

E X y = 1 18 ⋅ 3 2 + 3 y + 1 - y ln ⁡ 4

E esta é a média condicional de X quando Y = y . Se fizermos Y = 1,4 vamos obter:

E X y = 1,4 = 1 18 ⋅ 3 2 + 3 ⋅ 1,4 + 1 - 1,4 ln ⁡ 4

E X y = 1,4 = 1 18 ⋅ 5,7 - 0,4 ln ⁡ 4 = 0 , 2859

Passo 4

Vamos calcular agora a variância condicionada de X para Y = y . Temos que ir devagar pois a fórmula é um pouco mais complicada que vimos no caso da média condicionada.

Para calcular a variância, precisamos utilizar a seguinte relação:

V a r X y = E X 2 y - E X y 2

Percebam que E X y nós já calculamos no passo anterior. O problema é E X 2 y . Vamos ter que repetir todo aquele processo de integração. Portanto,

E X 2 y = ∫ - ∞ ∞ x 2 f X | Y x y d x = ∫ 0 1 x 2 y + 3 x 2 3 x + 1 d x

Percebam que a única diferença é que antes tínhamos o termo x multiplicando a densidade condicionada f X | Y x y , mas agora temos o termo x 2 . Vamos repetir aqui o mesmo processo de mudança de variáveis, sendo u = 3 x + 1 . Se fizermos isto, a nossa integral vai se transformar em:

E X 2 y = ∫ 0 1 x 2 y + 3 x 2 3 x + 1 d x = 1 18 ∫ 1 4 x ⋅ u + y - 2 + 1 - y u d u

Novamente, nós só fizemos multiplicar a nossa função por x . Transformando este x para u , temos:

E X 2 y = 1 18 ∫ 1 4 u - 1 3 ⋅ u + y - 2 + 1 - y u d u

E X 2 y = 1 54 ⋅ ∫ 1 4 u 2 + u y - 2 u + 1 - y - u - y + 2 + y - 1 u d u

E X 2 y = 1 54 ⋅ ∫ 1 4 u 2 + u y - 3 u + 3 - 2 y + y - 1 u d u

E X 2 y = 1 54 ⋅ ∫ 1 4 u 2 + u y - 3 + 3 - 2 y + y - 1 u d u

Agora, vamos integrar a nossa função. Portanto,

E X 2 y = 1 54 ⋅ u 3 3 + u 2 y - 3 2 + u 3 - 2 y + y - 1 ln ⁡ u 1 4

E X 2 y = 1 54 ⋅ 64 3 + 8 y - 3 + 4 3 - 2 y + y - 1 ln ⁡ 4 - 1 3 + y - 3 2 + 3 - 2 y + y - 1 ln ⁡ 1

E X 2 y = 1 54 ⋅ 28 3 + y - 1 ln ⁡ 4 - 11 6 - 3 y 2

E X 2 y = 1 54 ⋅ 45 6 + y - 1 ln ⁡ 4 + 3 y 2

Portanto, a variância condicionada é:

V a r X y = E X 2 y - E X y 2

V a r X y = 1 54 ⋅ 45 6 + y - 1 ln ⁡ 4 + 3 y 2 - 1 18 ⋅ 3 2 + 3 y + 1 - y ln ⁡ 4 2

Já quando y = 1,4 , temos:

V a r X y = 1,4 = E X 2 y = 1,4 - E X y = 1,4 2

V a r X y = 1,4 = 1 54 ⋅ 45 6 + 1,4 - 1 ln ⁡ 4 + 3 ⋅ 1,4 2 - 0,2859 2

V a r X y = 1,4 = 1 54 ⋅ 45 6 + 0,4 ⋅ ln ⁡ 4 + 2,1 - 0,2859 2

V a r X y = 1,4 = 0,1880 - 0,2859 2 = 0,1063

E assim finalizamos o nosso problema!

Resposta

  1. E X y = 1 18 ⋅ 3 2 + 3 y + 1 - y ln ⁡ 4

    E X y = 1,4 0,2859

V a r X y = 1 54 ⋅ 45 6 + y - 1 ln ⁡ 4 + 3 y 2 - 1 18 ⋅ 3 2 + 3 y + 1 - y ln ⁡ 4 2

V a r X y = 1,4 = 0,1063

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