Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P2 – Questão 1
a) Suponha que e sejam variáveis aleatórias contínuas, prove que .
Observação: podemos dizer que é uma variável aleatória, que é uma função de .
b) Seja , , ..., uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição . Se , qual a distribuição de e de ?
Passo 1
Fala pessoal, bora resolver mais uma questão de PROBEST?
Essa é uma questão bem legal com duas perguntas mais teóricas. No item (a) temos a seguinte situação: duas variáveis aleatórias e . Queremos achar . Para fazer isso, a primeira coisa que você precisa lembrar é como escrever a função densidade de probabilidade no caso condicional:
Calma que eu vou explicar com calma o que essa expressão significa! O termo do lado direito representa a distribuição de probabilidade de que dado que (se trata de uma probabilidade condicional). Essa distribuição condicional será dada pela razão da distribuição conjunta pela distribuição marginal em . Lembrando que a distribuição marginal é
Com isso, podemos escrever
Vamos converter isso para a notação do nosso problema. Basta trocar por e por :
Passo 2
Agora que já discutimos como escrever a função densidade de probabilidade da distribuição condicional, podemos calcular :
Vou puxar a integral do denominador para fora:
Agora vem uma observação importante, como todas essas integrais são feitas com relação a , o resultado será uma função de . Por simplicidade, vou escrever
onde
Passo 3
Como é uma variável aleatória que depende de , seu valor esperado será dado por
Lembre-se que é a distribuição marginal:
Observe que
Agora temos tudo que precisamos para terminar o problema, basta substituir na expressão :
Simplificando os termos :
Observe que esse termo que sobrou é exatamente a definição do valor esperado de :
Com isso terminamos o item (a)!
Passo 4
Partiu item (b)?
Agora o problema é um pouco diferente. Temos as variáveis aleatórias ..., que segue uma distribuição normal com média e variância . Queremos saber qual é a distribuição da soma:
Aqui vamos usar um teorema que deve ser conhecido por você (caso você não conheça eu vou te apresentar):
“A soma de variáveis aleatórias normais é uma variável aleatória com distribuição normal”
No caso mais geral possível, se tem média e variância , se tem média e variância e assim por diante, podemos considerar a variável
A média de será
Já a variância será
No nosso caso, , de modo que
Observe que isso que eu estou fazendo é totalmente geral, cada uma das variáveis pode ter uma média e uma variância diferente. Todavia, nesse caso todas elas possuem a mesma distribuição, de modo que
Logo,
Assim, a variável aleatória terá uma distribuição normal com média e variância .
Passo 5
No item (b) também foi pedido a distribuição da variável aleatória . Podemos escrever ela como
Com isso, vamos usar a mesma ideia do passo anterior, mas agora com
Portanto,
Você poderia ter esses resultados decorados já, mas quis abrir eles aqui para você entender bem de onde eles aparecem!
Usando e :
Com isso, vemos que também é uma variável aleatória com distribuição normal, porém com média e variância . Observe que a variância diminui conforme o número de variáveis aumenta.
Terminamos o problema 😊
Resposta
a) Demonstração.
b) tem distribuição normal com média e variância , enquanto também tem distribuição normal, mas com média e variância .