P3 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2019.1

a) Em um teste de hipótese, como se definem os parâmetros: alfa (probabilidade do erro tipo I) e beta (probabilidade do erro tipo II)?

b) Seja uma variável aleatória normal com média e variância , e uma variável aleatória qui-quadrado (). Se compararmos as curvas das funções densidade de probabilidade desta normal e da distribuição qui-quadrado com e graus de liberdade, qual destas duas últimas curvas está mais próxima de ter um coeficiente de simetria igual a zero? Esboce em um mesmo gráfico as três curvas.

Qual o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro de uma variável aleatória de Bernoulli escalada por uma constante conhecida? Ou seja, de um modelo cuja variável aleatória assuma o valor igual a (valor conhecido) com probabilidade e com probabilidade . Mostre todos os passos do desenvolvimento da solução.

Uma amostra de eleitores escolhidos aleatoriamente por todos os eleitores de um determinado distrito indicou que deles eram a favor de um determinado candidato. Encontre para o nível de confiança de , o intervalo de confiança para a proporção de todos os eleitores a favor deste candidato.

Através do teorema do limite central, detalhe todos os passos para a construção do IC.

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

Seja uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal com média e variância , ambas desconhecidas. Seja , uma amostra de tamanho desta população. Pede-se que:

a) Calcule o intervalo de confiança ao nível de para a média, detalhando todos os passos necessários para construção deste .

b) Calcule o intervalo de confiança ao nível de para a variância, detalhando todos os passos necessários para a construção deste .

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

Um fabricante de relógios deseja conhecer a variabilidade do seu produto. Para isso registrou os desvios de relógios em segundos relativos a um relógio de alta precisão, ocorridos ao fim de um mês e obteve como resultado: média de segundos e desvio padrão de segundos.

Pede-se

a) Com base na longa experiência com os relógios desta marca, o fabricante acredita que o verdadeiro desvio padrão é no máximo segundos. Ao nível de significância de , podemos afirmar que o fabricante está correto?

b) Determine se o fabricante pode afirmar que a verdadeira média é igual a segundo ao nível de significância de .

Uma máquina A produz peças circulares cujos diâmetros devem obedecer a uma determinada especificação em , e uma outra máquina B foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são semelhantes, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente iguais em termos dos diâmetros delas.

Tomou-se uma amostra de 13 peças da máquina A e 16 peças da máquina B, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

Máquina A: e ;

Máquina B: e ;

a) Teste a hipótese se existe diferença entre a média dos diâmetros da máquina A () para a média dos diâmetros da máquina B (), ao nível de significância de .

b) Através do teste de hipótese para a variância, determine com o nível de significância de se existe diferença entre a variância dos gastos da máquina A para a variância dos gastos da máquina B.