Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P3 – Questão 3
Uma amostra de eleitores escolhidos aleatoriamente por todos os eleitores de um determinado distrito indicou que deles eram a favor de um determinado candidato. Encontre para o nível de confiança de , o intervalo de confiança para a proporção de todos os eleitores a favor deste candidato.
Através do teorema do limite central, detalhe todos os passos para a construção do IC.
Observação: cálculos com 4 casas decimais.
Passo 1
Esse é um exercício bem interessante em que vamos usar o teorema do limite central para achar o intervalo de confiança (IC) de uma distribuição.
Bom, na amostra de eleitores, cada eleitor pode ser a favor de um candidato ou não ser a favor dele. Se for a probabilidade de cada eleitor ser a favor, e for a probabilidade de cada eleitor não ser a favor, temos uma distribuição binomial com . Sabemos que a distribuição de probabilidade é dada por
Isso não vai ser muito importante nesse problema, quis mencionar apenas para você recordar um pouco. O que vai ser importante é saber a média e a variância dessa distribuição:
Na verdade, vamos usar a distribuição de Bernoulli para resolver o problema, mas sabemos que a binomial está intimamente relacionada a ela.
Vamos considerar que uma boa estimativa para seja a frequência de pessoas que são a favor do candidato:
Estou colocando o chapeuzinho em cima de para indicar que se trata de um estimador. O exercício quer saber o intervalo de confiança para essa proporção, isto é, entre quais valores essa proporção deve estar.
Passo 2
Para isso, consideramos uma amostra com variáveis aleatórias , , ..., , com . Cada uma dessas variáveis obedece a uma distribuição de Bernoulli: se a pessoa for a favor do candidato, a variável vale ; se ela não for, vale . Assim, definimos
A soma vai representar o número de pessoas que é a favor do candidato nessa amostra, de modo que será a proporção de pessoas que apoiam o candidato nessa amostra. Note que faz o papel de . Para valores grandes de , a variável deve seguir uma distribuição aproximadamente normal (aqui estamos usando o teorema central do limite).
A ideia básica é que a soma de um número muito grande de variáveis aleatórias deve ter uma distribuição aproximadamente normal. Além disso,
Mas como cada variável segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro , temos que
Você deve lembrar que a média de uma distribuição de Bernoulli é , foi isso que eu usei na linha acima. Portanto,
Já para a variância, usamos que
Mas como , temos que
Uma outra forma de se deduzir isso é pensar que deve seguir uma binomial, de modo que
As duas formas de pensar estão corretas e são análogas!
Passo 3
Mas por que eu fiz tudo isso? Aqui vem o pulo do gato, presta bastante atenção...
Pelo teorema central do limite, a variável (que representa a proporção de eleitores a favor de um candidato) deve seguir uma distribuição normal e, no passo anterior, achamos sua média e sua variância:
Para uma distribuição normal, tudo que precisamos é sua média e sua variância: problema praticamente resolvido! Sabemos que e vamos usar o estimador de . Assim,
A partir daqui vou chamar e . O problema quer saber, com confiança de , qual o intervalo de valores de em torno da média que correspondem a essa probabilidade. Se ficou confuso eu vou desenhar para simplificar:
A linha verde representa a média . Queremos saber o intervalo que delimita a região pintada (entre e ) de modo que ela represente da probabilidade total. Para isso, nós normalizamos a distribuição para que ela tenha média e desvio padrão , através da mudança de variável:
Com essa mudança de variável, a figura da distribuição passa a ser:
Como agora a distribuição é simétrica, é fácil ver que . Queremos que
Passo 4
Para determinar o valor de , temos que olhar para a tabela da distribuição normal padrão acumulada. Vou usar a versão que foi dada na própria prova:
Essa tabela pode ser fornecida de várias formas, por isso é bem importante saber qual a convenção que está sendo utilizada. Na tabela fornecida na prova, a distribuição acumulada representa a probabilidade de . Vamos adaptar nosso problema a essa situação:
Mas note que , pois representa metade da distribuição (que é simétrica). Assim,
Olhando na tabela:
Portanto,
Daí, basta isolar como função de :
Portanto,
Portanto, o intervalo de confiança é