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Exercícios Resolvidos de Incerteza

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Exercício 21345678910111213

Enunciado

O comprimento de um retângulo é dado por L ± l e sua largura é W ± p .

  1. Mostre que a incerteza na área A é dada por a = L p + l W . Suponha que as incertezas l   e   p sejam pequenas, de modo que o produto l p é muito pequeno e pode ser desprezado.
  2. Mostre que a incerteza fracionária na área é igual à soma da incerteza fracionária do comprimento com a incerteza fracionária da largura.
  3. Um paralelepípedo possui dimensões L ± l ,   W ± p ,   H ± h . Ache a incerteza fracionária do seu volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas fracionárias do comprimento, da largura e da altura.

Passo 1

Letra a) Vamos calcular a área do retângulo considerando o que pode variar, o retângulo tem lados L   que pode variar ± l   e W que pode variar de ± p , se a gente fizer a diferença da maior área com a menor, teremos uma boa estimativa para a incerteza.

Área máxima:

A m á x i m a = L + l W + p = L W + l W + L p

Área mínima:

A m í n i m a = L - l W - p = L W - l W - L p

Os termos l p foram omitidos, pois o enunciado falou que são termos desprezíveis.

Separando os termos em comum das incertezas temos que:

A r e t â n g u l o = L W ± l W + L p

Podemos reescrever então a área do retângulo da seguinte forma:

A r e t â n g u l o = A + a

Onde A é a área dos lados conhecidos e a é a incerteza.

Assim, chegamos ao que o enunciado pediu:

a = ( l W + L p )

Passo 2

Letra b) Esse enunciado até embola um pouco a cabeça né? Quando ele fala de incerteza fracionária na área tá falando pra gente dividir a incerteza da área pela área conhecida, e provar que isso vale pras incertezas de comprimento, vamos ver se vale?

a A = l W + L p L W

Vamos separar as frações aqui e pra ver se sai algo:

a A = l W L W + L p L W = l L + p W

Logo, a incerteza fracionária na área é igual à soma das incertezas fracionárias do comprimento e da largura.

Passo 3

Letra c) Para achar a incerteza do volume o cálculo é similar. Cada um dos termos pode variar de ± incerteza, vamos calcular aqui o máximo e o mínimo e fazer a diferença o que nos dará a incerteza do volume.

Lembre-se de omitir todos os termos que são desprezíveis (todos onde temos duas incertezas multiplicadas).

V m á x i m o = L + l W + p H + h = L W + l W + L p + l p H + h

V m á x i m o = L W H + L W h + l W H + l W h + L p H + L p h + l p H + l p h

Os termos desprezíveis são l W h , L p h , l p H e l p h .

V m á x i m o ≈ L W H + ( L W h + l W H + L p H )

Agora para o volume mínimo.

V m í n i m o = L - l W - p H - h = L W - l W - L p + l p H - h

V m í n i m o = L W H - L W h - l W H + l W h - L p H + L p h - l p H - l p h

Os termos desprezíveis são l W h , L p h , l p H e l p h .

V m í n i m o ≈ L W H - ( L W h + l W H + L p H )

Logo, o volume com seu erro será:

V = L W H ± L W h + l W H + L p H

Fazendo o cálculo da incerteza fracionária, teremos:

v V = l W H + L p H + L W h L W H = l L + p W + h H

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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