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Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Conhecido

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Enunciado

Tarefa da aula – 9 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 2

Toma-se uma amostra de 25 usuários de um cartão de crédito e observa-se que o gasto médio mensal é de R$ 3.000,00. O desvio padrão é conhecido e igual a R$ 1.200,00.

Pede-se: Encontre os Intervalos de confiança 96% e 98% para o gasto médio com cartão na população de usuários. Deduzir detalhando todos os passos necessários para a construção do Intervalo de confiança – IC.

Passo 1

O problema forneceu para gente uma amostra com 25 usuários de um cartão de crédito, ou seja, 25 variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal:

n = 25

E o enunciado nos deu também, o gasto médio mensal desses usuários, que é...

X = 3000

O desvio padrão também é conhecido, é igual à...

σ = 1200

Ora bolas! Temos aí um intervalo de confiança para média, com σ conhecido!

Passo 2

Sendo assim, vamos usar a fórmula abaixo...

I C = X - ± z 1 - α 2 ⋅ σ n

Bom! O primeiro intervalo de confiança dado é o de 96 % . Logo;

1 - α = 0,96

α = 0,04

E então, temos que...

z 1 - α 2 = z 1 - 0,04 2 = z 0,98

Substituindo na fórmula...

I C = X - ± z 0,98 ⋅ σ n

Ao dar uma olhada na tabela abaixo...

Podemos ver que...

z 0,98 ≅ 2,06

Desse modo, substituindo os valores numéricos, obtemos que...

I C = 3000 ± 2,06 ⋅ 1200 25

I C = 3000 ± 494

I C = [ 2506 ; 3494 ]

Passo 3

Pro segundo intervalo de confiança, de 98 % , basta repetir o mesmo procedimento...

Primeiro descobrimos α :

1 - α = 0,98

α = 0,02

E então;

z 1 - α 2 = z 1 - 0,02 2 = z 0,99

Substituindo na fórmula...

I C = X - ± z 0,99 ⋅ σ n

Ao olhada a tabela, descobrimos que...

z 0,99 = 2,33

Sendo assim, obtemos o seguinte resultado...

I C = 3000 ± 2,33 ⋅ 1200 25

I C = 3000 ± 559

I C = [ 2441 ; 3559 ]

Pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

P a r a   96 % :   I C = [ 2506 ; 3494 ]

P a r a   98 % :   I C = [ 2441 ; 3559 ]

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