USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017
1) Considere a equação , cuja solução exata é dada por . Calcule a aproximação para pelos métodos de Euler e Euler modificado com e compare com os erros obtidos nos dois métodos.
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos resolver o PVI pelo método de Euler e Euler modificado.
Método de Euler:
Onde é quando a gente isola a derivada na EDO.
Método de Euler modificado:
Onde e .
Passo 2
Pelo método de Euler:
Isolando
Então:
Calculando a primeira iteração, vamos achar o :
Com , e :
Para a segunda iteração, vamos achar o
Passo 3
Pelo método de Euler modificado:
Temos:
Então:
- para o
- para o
Para a primeira iteração:
Então:
Para a segunda iteração:
Então:
Passo 4
Para a solução exata temos:
Calculando o erro do método de Euler:
Calculando o erro do método de Euler modificado:
O erro do método de Euler modificado é bem menor que o erro do método de Euler. Talvez por isso o método de erro de Euler modificado também seja chamado de método de Euler melhorado.
Resposta
Euler:
Euler modificado: