1) Considere a equação x ' t = x 2 t ,   x 0 = 1 , cuja solução exata é dada por x t = 1 1 - t . Calcule a aproximação para x 0,5 pelos métodos de Euler e Euler modificado com h = 0,25 e compare com os erros obtidos nos dois métodos.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos resolver o PVI pelo método de Euler e Euler modificado.

Método de Euler:

x n + 1 = x n + h f t n , x n

Onde f t , x é quando a gente isola a derivada na EDO.

Método de Euler modificado:

x n + 1 = x n + h 2 k 1 + k 2

Onde k 1 = f t n , x n e k 2 = f t n + h ,   x n + h k 1 .

Passo 2

Pelo método de Euler:

Isolando x ' t

x ' t = x 2 t

Então:

f t , x = x 2

Calculando a primeira iteração, vamos achar o x 1 = x 0,25 :

x 1 = x 0 + h f t 0 , x 0

Com h = 0,25 , t 0 = 0 e x 0 = x 0 = 1 :

x 1 = 1 + 0,25 1 2

x 1 = 1,25

Para a segunda iteração, vamos achar o x 2 = x 0,5 :

x 2 = x 1 + h f t 1 , x 1

x 2 = 1,25 + 0,25 1,25 2

x 2 = 1,6406

Passo 3

Pelo método de Euler modificado:

Temos:

f t , x = x 2 t

Então:

- para o k 1

k 1 = x 2 t

- para o k 2

k 2 = x t + h x 2 t 2

Para a primeira iteração:

k 1 = 1 2

= 1

k 2 = 1 + 0,25 1 2

= 1,5625

Então:

x 1 = x 0 + h 2 k 1 + k 2

x 1 = 1 + 0,25 2 1 + 1,5626

x 1 = 1,3203

Para a segunda iteração:

k 1 = 1,3203 2

= 1 , 7432

k 2 = 1,3203 + 0,25 1,7432 2

= 3,0839

Então:

x 1 = x 0 + h 2 k 1 + k 2

x 1 = 1,3203 + 0,25 2 1,7432 + 3,0839

x 1 = 1,9237

Passo 4

Para a solução exata temos:

x 0,5 = 1 1 - 0,5  

= 2

Calculando o erro do método de Euler:

E r r o = 2 - 1,6406

= 0,3594

Calculando o erro do método de Euler modificado:

E r r o = 2 - 1,9237

= 0,0763

O erro do método de Euler modificado é bem menor que o erro do método de Euler. Talvez por isso o método de erro de Euler modificado também seja chamado de método de Euler melhorado.

Resposta

Euler: 1,6406

Euler modificado: 1,9237

Exercícios Resolvidos de Método de Euler

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