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Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Exercício 712345689

Enunciado

Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alvenaria ( ρ = 1900   k g . m - 3 , c p =   800   J . k g - 1 . K - 1 e k   = 0,70   W . m - 1 . K - 1 ) de largura W =   0,05   m , a qual está a uma temperatura de 25 o C . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de T ∞ = 600 o C e h = 100   W . m - 2 . K - 1 em todo o canal.

  1. Quanto tempo levará para atingir 75% da energia máxima possível armazenada?
  2. Quais são as temperaturas máxima e mínima da alvenaria nesse instante?

Passo 1

a) A situação exposta pelo enunciado pode ser vista da seguinte forma:

A primeira coisa que temos que fazer é calcular o número de Biot, então bora lá:

B i = h . L c k             →             B i = h . W 2 . k

Substituindo os dados:

B i = 100   W . m - 2 . K - 1 . 0,05   m 2 . 0,70   W . m - 1 . K - 1

B i = ~ 3,6

Como o B i > 0,1 , a gente não pode desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido e precisamos usar o Método dos Efeitos Espaciais!

Passo 2

Sabemos que a energia máxima (no instante t = 0   s ) a ser trocada é dada por:

Q 0 = ρ . V . c p . T i - T ∞

Para o caso de paredes planas, a gente pode escrever:

Q Q 0 = 1 - s e n ζ 1 ζ 1 . θ *

Temos que encontrar o tempo no qual a razão equivale a:

Q Q 0 = 0,75

Ou seja:

s e n ζ 1 ζ 1 . θ * = 0,25

Substituindo a expressão da temperatura adimensional ( θ * ), a gente fica com:

s e n ζ 1 ζ 1 . C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o = 0,25

Em que:

F o = α . t L c 2

A difusividade térmica ( α ) é dada por:

α = k ρ . c p             →             α = 0,70   W . m - 1 . K - 1 1900   k g . m - 3 . 800   J . k g - 1 . K - 1             →             α = 4,61   x   10 - 7   m 2 s

Assim, o número de Fourier ( F o ) será:

F o = 4,61   x   10 - 7   m 2 . s - 1 . t 0,025   m 2

F o = 7,37   x   10 - 4   s - 1 . t

Passo 3

Pela tabela de valores de ζ 1 e C 1 , a gente pode fazer uma interpolação para encontrar esses valores para o caso em que B i = 3,6 ! Bora lá então:

  • Cálculo de ζ 1 :

    • 3,6 - 3,0 4,0 - 3,0 = ζ 1 - 1,1925 1,2646 - 1,1925

    ζ 1 = 1,2358   r a d

  • Cálculo de C 1 :

3,6 - 3,0 4,0 - 3,0 = C 1 - 1,2102 1,2287 - 1,2102

C 1 = 1,2213

Passo 4

Substituindo a expressão para o número de Fourier e os valores das constantes, a gente tem que:

s e n 1,2358 1,2358 . 1,2213 . exp ⁡ - 1,2358 2 . 7,37   x   10 - 4   s - 1 . t = 0,25

Assim:

exp ⁡ - ( 1,1255   x   10 - 3 ) . t = 0,2679

t = ~ 1170   s

Isso equivale a aproximadamente 19,5   m i n .

Passo 5

b) Agora a gente precisa determinar as temperaturas máxima e mínima no sólido! O sólido está esquentando, devido à convecção com o fluido pela superfície. Então, num dado instante, a gente espera que a temperatura máxima seja na parede e a mínima no centro.

Então a gente precisa calcular a temperatura em duas regiões: em x * = 0 (no centro) e em x * = 1 (na parede)! A temperatura adimensional no caso de parede plana é aproximadamente:

θ * = ~ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . cos ⁡ ζ 1 . x *

Substituindo as constantes:

θ * = ~ 1,2213 . exp ⁡ - 1,2358 2 . ( 0,8623 ) . cos ⁡ 1,2358 . x *

θ * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . x *

Passo 6

A temperatura mínima ( x * = 0 ) será:

θ x * = 0 * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . ( 0 )

T x * = 0 - T ∞ T i - T ∞ = ~ 0,327

Isolando a temperatura de interesse:

T x * = 0 = 873   K + 0,327 . 298 - 873   K  

T x * = 0 = 684,8   K

A temperatura máxima ( x * = 1 ) será:

θ x * = 1 * = ~ 0,327 . cos ⁡ 1,2358 . 1

T x * = 1 - T ∞ T i - T ∞ = ~ 0,108

Isolando a temperatura de interesse:

T x * = 1 = 873   K + 0,108 . 298 - 873   K  

T x * = 1 = 811,2   K

Resposta

  1. t = ~ 1170   s
  2. T x * = 0 = 684,8   K   m í n   e   T x * = 1 = 811,2   K   m á x

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