Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura é subitamente resfriada pela redução da temperatura em ambas as superfícies para .
A lâmina tem uma espessura de e o vidro possui uma difusividade térmica de .
Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível?
Se , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?
Passo 1
O primeiro passo aqui é calcular o danado do Biot:
Opa! Mas o problema não nos deu o coeficiente de transferência de calor por convecção!
“E agora, José?!”
A ideia é a seguinte, quando o problema nos diz que a temperatura na superfície após o resfriamento é , é a mesma coisa que ele nos dizer que, após o resfriamento, , ou seja, seria como considerarmos .
Nesse caso, seria o mesmo que dizer que . Bom, isso definitivamente é maior do que . Kkkk Então partiu Métodos dos Efeitos Espaciais.
Passo 2
Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível?
Ok! Como não temos exatamente, o valor de Biot, não temos como utilizar a nossa tabela. Então vamos recorrer à definição dos parâmetros e .
Passo 3
Show de bola! Como estamos querendo calcular o tempo, vamos calcular o número de Fourier através da seguinte fórmula:
Como estamos calculando esse tempo no eixo central, . Dessa forma:
Como queremos saber o tempo que levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja da sua máxima redução de temperatura possível, devemos considerar . Dessa forma:
Utilizando a definição do número de Fourier:
Passo 4
Se , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo supracitado?
Como queremos calcular o gradiente de temperatura, estamos querendo calcular a grandeza .
Pra isso, precisamos calcular a expressão da temperatura. A temperatura adimensional é dada por:
Derivando a expressão acima:
Sendo .
Substituindo na expressão do gradiente de temperatura:
Como queremos o máximo valor do gradiente de temperatura, basta fazer e , logo:
Substituindo os valores:
Resposta