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Exercícios Resolvidos de Método dos Efeitos Espaciais

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Exercício 412356789

Enunciado

Em um processo de fabricação de elementos estruturais, cilindros de aço são moldados a quente e em seguida resfriados em água. Considere um cilindro de aço ( k = 40   W / m K e α = 1 × 10 - 5   m 2 / s ) com 4   m de comprimento e 0,2   m de diâmetro.

O cilindro, que se encontra inicialmente na temperatura uniforme de 400 ° C , é resfriado em água a 50 ° C . O coeficiente de transferência de calor entre o cilindro e a água é de 200   W / m 2 K .

Calcule a temperatura no centro do cilindro 20 minutos após a imersão.

Passo 1

Esse se trata de um problema de condução em regime transiente. Assim, pra sabermos qual o método mais adequado pra resolver o problema, precisamos começar calculando o número de Biot que, no caso de um cilindro, é dado por:

B i = h . L c k = h . D 4 . k = 200 × 0,2 4 × 40

B i = 0,25 > 0,1

Como o número de Biot é maior que 0,1, vamos usar o método dos efeitos espaciais.

Passo 2

Nesse caso, a temperatura adimensional no cilindro é aproximada por:

θ * ≅ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o . J 0 ζ 1 . r *

Como estamos interessados em calcular a temperatura na linha de centro, r * = 0 , e J 0 0 = 1 . Logo:

θ * ≅ C 1 . exp ⁡ - ζ 1 2 . F o

Onde:

F o = α . t r 0 2 = 1 × 10 - 5 × 20 × 60 0,2 / 2 2

F o = 1,2

De acordo com a tabela da Teoria, temos que calcular:

B i = h r 0 k = h D 2 k = 200 × 0,2 2 × 40

B i = 0,5

E para B i = 0,5 teremos, de acordo com a tabela:

C 1 = 1 , 1143

ζ 1 = 0 , 9408

Substituindo os valores:

θ * = 1,1143 × exp ⁡ - 0,9408 2 × 1,2

θ * = 0 , 385

Passo 3

A temperatura adimensional é definida por:

θ * = T - T ∞ T i - T ∞

Substituindo os valores, teremos:

0,385 = T - 50 400 - 50

T = 184,83 ° C  

Resposta

T = 184,83 ° C

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