Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa – 2D e 3D

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Enunciado

Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em um curral retangular de dimensões L x = L e L y = 2 L .

  1. Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia?
  2. Que múltiplo de h / 8 m L 2 corresponde:

  3. À menor frequência?
  4. À segunda menor frequência?
  5. À terceira menor frequência?
  6. À maior frequência?
  7. À segunda maior frequência?
  8. À terceira maior frequência?

Passo 1

Letra a)

Quando o elétron sai de um nível de energia E i para um nível de energia E f de menor energia, ele emite um fóton cuja energia é dada por:

E i - E f = h f

Onde f é a frequência do fóton. Isso significa que para cada Δ E corresponde uma única frequência, e vice versa.

Se a transição entre os níveis A e B e entre os níveis C e D forem tais que:

E A - E B = E C - E D

Então ambos emitem luz com a mesma frequência.

Passo 2

A energia de um dado nível do elétron em um curral retangular é dada por:

E n x , n y = h 2 8 m L x 2 n x 2 + h 2 8 m L y 2 n y 2 = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

Considerando que L y = 2 L x = 2 L , temos:

E n x , n y = h 2 8 m L 2 n x 2 + n y 2 4

E podemos avaliar quais são os cinco níveis de menor energia.

Como n y 2 está dividido por 4 vemos que o crescimento n y corresponde a menores crescimentos da energia do que o crescimento de n x . Assim, os cinco níveis correspondem a:

n x , n y = 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 2,1

Cujas energias em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 são:

E 1,1 = 1 2 + 1 2 4 = 1,25

E 1,2 = 1 2 + 2 2 4 = 2

E 1,3 = 1 2 + 3 2 4 = 3,25

E 1,4 = 1 2 + 4 2 4 = 5

E 2,1 = 2 2 + 1 2 4 = 4,25

Eles foram achados por tentativa e erro. Se tentássemos ( 1,5 ) pra cima, teríamos valores para energia, em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , muito grandes:

1 2 + 5 2 4 = 7,25

O mesmo vale para 2,3 para cima:

2 2 + 3 2 4 = 6,25

Por fim, vale um comentário sobre o estado 2,2 . Este estado tem a mesma energia que o estado ( 1,4 ) :

2 2 + 2 2 4 = 5 = 1 2 + 4 2 4

Assim ele também corresponde a um dos níveis de menor energia.

Passo 3

Cada frequência possível corresponde a uma transição de um nível de maior energia para um nível de menor energia.

As transições possíveis são:

1,4 → 2,1 ;   1,4 → 1,3 ;   1,4 → 1,2 ;   1,4 → 1,1

2,1 → 1,3 ;   2,1 → 1,2 ;   2,1 → 1,1

1,3 → 1,2 ;   1,3 → 1,1

1,2 → 1,1

Que são 10 transições no total. Contudo, algumas transições correspondem a um mesmo Δ E , emitindo luz em uma mesma frequência. A variação de energia de todas as transições é (tudo em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 ):

Δ E 1,4 → 2,1 = 0,75 ;   Δ E 1,4 → 1,3 = 1,75 ;   Δ E 1,4 → 1,2 = 3 ;   Δ E 1,4 → 1,1 = 3,75

Δ E 2,1 → 1,3 = 1 ;   Δ E 2,1 → 1,2 = 2,25 ;   Δ E 2,1 → 1,1 = 3

Δ E 1,3 → 1,2 = 1,25 ;   Δ E 1,3 → 1,1 = 2

Δ E 1,2 → 1,1 = 0,75

Temos então apenas 8 frequências possíveis correspondentes a:

Δ E = 0,75 ;   Δ E = 1 ; Δ E = 1,25 ; Δ E = 1,75 ; Δ E = 2 ; Δ E = 2,25 ; Δ E = 3 ; Δ E = 3,75

Passo 4

Letra b)

Da discussão anterior, temos que:

f = Δ E h

Ou seja, quanto menor a variação de energia, menor a frequência emitida.

A menor variação de energia possível corresponde às transições 1,2 → 1,1 e 1,4 → 2,1 , sendo a frequência igual a:

f = h 2 8 m L 2 ∙ 0,75 h = h 8 m L 2 ∙ 0,75

Ou seja, f = 0,75   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 5

Letra c)

A segunda menor variação de energia corresponde a 2,1 → 1,3 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 1 h = h 8 m L 2

Temos f = 1   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 6

Letra d)

A terceira menor variação de energia corresponde a 1,3 → 1,2 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 1,25 h = h 8 m L 2 ∙ 1,25

Temos f = 1,25   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 7

Letra e)

A maior variação de energia corresponde a 1,4 → 1,1 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 3,75 h = h 8 m L 2 ∙ 3,75

Temos f = 3,75   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 8

Letra f)

A segunda maior variação de energia corresponde a   1,4 → 1,2 e 2,1 → 1,1 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 3 h = h 8 m L 2 ∙ 3

Temos f = 3   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Passo 9

Letra g)

A terceira maior variação de energia corresponde a 2,1 → 1,2 :

f = h 2 8 m L 2 ∙ 2,25 h = h 8 m L 2 ∙ 2,25

Temos f = 2,25   u em múltiplos de h / 8 m L 2 ( u é a unidade correspondente).

Resposta

Letra a)

O elétron é capaz de emitir ou absorver 8 frequências possíveis.

Letra b)

f = 0,75   u

Letra c)

f = 1   u

Letra d)

f = 1,25   u

Letra e)

f = 3,75   u

Letra f)

f = 3   u

Letra g)

f = 2,25   u

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