Considere uma função de classe . Suponha que:
A imagem da curva plana esteja contida numa curva de nível de
A imagem da curva no espaço esteja contida no gráfico de
Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Vamos organizar em tópicos o que a questão nos deu:
- Uma função do tipo (porque é uma função )
- Uma curva de nível da função:
- Uma superfície de nível da função:
Agora com essas informações, precisamos encontrar o plano tangente ao gráfico de no ponto e para isso, vamos precisar descobrir quem é o vetor tangente.
Passo 2
Para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de , fazemos:
Assim, o gradiente fica:
No ponto :
Ok, precisamos encontrar e .
Passo 3
Como a curva é uma curva de nível de , isso significa que as componentes e da curva tem que satisfazer a nossa função também. Isso significa que se
E
Então
Usando a regra da cadeia, vamos ter
E a derivada de a gente consegue calcular, porque temos a expressão de :
Assim, vamos ter
Passo 4
No ponto de tangencia temos que, como estamos sobre a curva de nível:
Resolvendo esse sistema, tiramos que
Além disso, no ponto de tangencia,
Assim,
E vamos guardar essa primeira relação envolvendo e no ponto .
Passo 5
Além disso, sabemos também que a curva
É superfície de nível de .
Então podemos usar o mesmo raciocínio, só que com uma dimensão a mais.
Assim, podemos dizer que se é superfície de nível da função, então
Ou seja,
E assim, também podemos usar a regra da cadeia para derivar esse negócio.
Ficamos com
As derivadas de em relação a nós conseguimos calcular e a derivada de em relação a também. Nossa incógnita fica sendo o gradiente de , como queríamos!
Derivando :
Derivando :
Então, vamos ter
Passo 6
No ponto de tangencia temos que, como estamos sobre superfície de nível:
Dai tiramos que
Então, nossa derivada, no ponto de tangencia, fica:
E tá aí nossa outra relação com e no ponto .
Passo 7
Agora temos duas equações envolvendo e que são nossas duas incógnitas. Com isso conseguimos resolver esse sistema e achar nosso vetor gradiente pra depois finalmente achar nosso plano tangente!!!
Vamos lá
Vamos multiplicar a segunda equação por , nosso sistema fica:
Da segunda equação,
Substituindo na primeira:
Assim
E FINALMENTE ACHAMOS ESSE DANADO DESSE VETOR GRADIENTEEEEEEEEEEEEEEE!
Passo 8
Agora a equação do plano tangente no ponto é:
Ops, ainda falta a gente calcular o .
Mas, como sabemos que
E no ponto de tangencia,
Pronto!
Agora voltando ao plano tangente: