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Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

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Exercício 121234567891011131415161718

Enunciado

Qual das seguintes curvas está contida no plano tangente à superfície

z = 1 + 2 x 2 + y 2

No ponto ( 1 , - 1,2 ) .

  1. γ t = 3 t , 2 t + 1,2 t
  2. γ t = t , - t , 1 + 3 t 2
  3. γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t
  4. γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2
  5. γ t = 3 t + 1,2 t + 1,2 t + 2

Passo 1

A primeira coisa é encontrar o plano tangente a essa superfície.

Vamos começar jogando tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e chamando de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z - 1 + 2 x 2 + y 2 = 0

O gradiente disso é:

∇ F x , y , z = - 4 x 2 1 + 2 x 2 + y 2 , - 2 y 2 1 + 2 x 2 + y 2 , 1

No ponto de tangencia ( 1 , - 1,2 ) :

∇ F 1,1 , 2 = - 4.1 2 1 + 2 ( 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 , - 2 ( - 1 ) 2 1 + 2 ( 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 , 1

∇ F 1,1 , 2 = - 1 , 1 2 , 1

Passo 2

O plano tangente é:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

x - 1 , y - 1 , z - 2 ⋅ - 1 , 1 2 , 1 = 0

- x + 1 + y 2 - 1 2 + z - 2 = 0

Multiplicando tudo por 2 pra tirar essas frações:

- 2 x + y + 2 z + 2 - 1 - 4 = 0

- 2 x + y + 2 z - 3 = 0

Passo 3

Agora precisamos saber qual das curvas está contida nesse plano.

Para isso, basta a gente substituir as componentes das curvas na equação do plano e ver se vai dar zero. A que der zero é a nossa resposta!

Vamos testar todas então:

γ t = 3 t , 2 t + 1,2 t

- 2 ( 3 t ) + ( 2 t + 1 ) + 2 ( 2 t ) - 3 = 0

- 6 t + 2 t + 1 + 4 t - 3 = - 2 ≠ 0   ×

Próxima:

γ t = t , - t , 1 + 3 t 2

- 2 t + t + 2 1 + 3 t 2 - 3 = 0

Esse daí a gente nem precisa continuar a conta né... essa raiz não vai sumir de jeito nenhum, então com certeza isso aí não vai dar zero. Essa curva não é.

Próxima:

γ t = 2 t - 1 , t - 2,2 t

- 2 ( 2 t - 1 ) + ( t - 2 ) + 2 ( 2 t ) - 3 = 0

- 4 t + 2 + t - 2 + 4 t - 3 = t - 3 ≠ 0   ×

Próxima:

γ t = 3 t - 2,1 - 2 t , 2 t 2

- 2 ( 3 t - 2 ) + ( 1 - 2 t ) + 2 ( 2 t 2 ) - 3 = 0

Essa aí também não precisa continuar a conta... temos um t 2 que também não vai ter como sumir pois não tem como surgir outro t 2 pra anular ele, então essa curva aí também não pode ser.

Próxima:

γ t = 3 t + 1,2 t + 1,2 t + 2

- 2 ( 3 t + 1 ) + ( t + 1 ) + 2 ( 2 t + 2 ) - 3 = 0

- 6 t - 2 + t + 1 + 4 t + 4 - 3 = - t ≠ 0   ×

UEEEEEEEEEEEEEEEEEE???

Acabaram as opções e não achamos uma resposta e agora?

Então, parece que essa questão tava errada mesmo e a USP teve que anular. Mas a ideia de resolução da questão era essa: achar a equação do plano tangente e depois testar qual das curvas atendia a equação do plano substituindo x t ,   y ( t ) e z ( t ) na equação do plano pra ver se ia dar zero.

Nosso trabalho não foi tão a toa, porque pelo menos a gente aprendeu a fazer esse tipo de questão.

Tá bem? Então tá bem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja σ : Ω → R 3 , Ω aberto em R 2 , uma superfície de classe C 1 e seja γ : I → Ω uma curva de classe C 1 , com γ t = u t , v t . (Observe que γ t é um ponto de Ω , para todo t ∈ I .) Seja Γ : I → I
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