Seja uma função diferenciável que satisfaz

1. A imagem da curva está contida no gráfico de .
2. , .

Considere, ainda, o ponto .

a) Determine e dê uma equação para a reta tangente à curva em .

b) Calcule e dê a equação do plano tangente ao gráfico de em .

c) A superfície intercepta o gráfico de em uma curva que contém . Determine uma equação para a reta tangente à curva no ponto .

Beleza, agora vamos para a reta tangente na curva ! Se a equação dessa curva é:

Então, colocando , temos o ponto , veja só:

E olha aí! De quebra já confirmamos que o que fizemos no passo anterior está realmente certo, , que é a terceira coordenada do ponto !

Beleza, agora que temos o valor que deve assumir para termos o ponto , vamos encontrar o vetor diretor da reta tangente?

Basta derivar a curva :

Colocando , o vetor derivada no ponto fica:

Agora que temos o ponto e o vetor diretor da reta, podemos jogar na equação paramétrica dela! Fica:

Substituindo o ponto e o vetor diretor,

E aí está a equação! Partiu letra !

b) Tá... para encontrarmos o plano tangente, precisamos encontrar o vetor gradiente, e, para encontrar esse vetor, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a e , show? Mas o enunciado deu apenas duas curvas que pertencem à nossa função, e não a função em si, certo? O que isso te lembra? Regra da cadeia!!!

Olha a equação dela aí:

temos duas curvas, logo, podemos fazer duas regras da cadeia, e montar um sistema para encontrar as duas derivadas!

A curva é uma outra forma de dizer que, dada a primeira coordenada, , como e a segunda, , como , teremos o valor da função na terceira coordenada, . Ou seja:

Então, aplicando a regra da cadeia, pela equação do passo anterior, teremos:

Neste caso, envolve apenas as duas coordenadas da derivada de . Colocando essas derivadas, que já calculamos,

Fazendo, agora (pois estamos no ponto ) e o produto escalar,

E aí está a primeira equação que envolve e no ponto !

Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa com a outra curva que foi dada! No caso, ela é:

Como a própria equação informa, é uma curva de nível, no caso, nível ! Assim, quando derivarmos em relação a , vai dar !

Aplicando a regra da cadeia:

Neste caso, , basta derivar cada coordenada de ;)

Como vimos no primeiro passo, para termos o ponto , devemos colocar nesta parametrização. O mesmo vale agora!

E, daí, temos que:

Opa! Acabamos de encontrar o valor da primeira derivada em relação a !

Jogando esse valor na equação do passo , quando derivamos a curva , teremos:

E, assim, o vetor gradiente fica:

E é isso aí! Vetor gradiente encontrado, partiu encontrar o plano tangente!

Estamos aqui com um vetor gradiente que tem apenas duas coordenadas... Isso aconteceu pois a função tem apenas duas variáveis. Nestes casos, temos que fazer:

E, assim, montamos um função de três variáveis,

Beleza? E, assim, o vetor gradiente de será:

Ou seja, sempre que fizermos que , teremos a terceira coordenada do gradiente igual a ! Enfim, acrescentando essa coordenada ao vetor encontrado no passo anterior, teremos:

E, agora que temos o gradiente com as devidas coordenadas e o ponto e tangência do plano, podemos jogar na fórmula do plano tangente!

Fazendo os produtos escalares, teremos:

c) Finalmente! Chegou na última! Vamos lá, firmeza que dá pra fechar sem muito esforço :D

Resumindo a história: tínhamos a superfície da função , e, agora, interceptamos ela com a outra superfície do enunciado. Isso gerou uma curva que contém o ponto e nossa missão é encontrar a reta tangente a ela nesse ponto!

Aí você pensa: Ahh essa é fácil! Basta encontrar a curva de interseção, parametrizar, derivar, substituir o ponto na derivada, e jogar na fórmula! Não, não quando se está na USP XD Esse processo que você acabou de ler sempre vai funcionar, é claro, mas, estatisticamente falando, você só vai usá-lo quando já te dão a curva parametrizada.

Quando você tem uma situação como essa nossa agora, é muito mais negócio fazer o seguinte: Essa curva é uma curva de interseção, logo, está simultaneamente em ambas as superfícies. Assim, para o ponto em questão, temos que os vetores gradientes das superfícies são, ambos, normais à curva de interseção (pois são normais às superfícies).Logo, se fizermos o produto vetorial entre eles, o resultado será um vetor que é normal à ambos, e teremos o vetor tangente à curva, que é o vetor que é normal, ao mesmo tempo, a um vetor gradiente e ao outro!

Sei que ficou um tarolo nada convidativo para ser lido no passo anterior, desculpa XD Se não tiver ficado claro, aperta o botão vermelho no canto superior da tela e manda uma mensagem!

Enfim, aplicando o que acabamos de dizer, teremos que:

O gradiente de no ponto , já temos, vale ! Agora falta encontrar o gradiente da outra superfície neste mesmo ponto!

Se ela é:

Então,

E, assim, o gradiente fica:

Que, para o ponto , vale:

Vamos lá, agora é pegar esses vetores e colocar no determinante do produto vetorial:

Show! Agora que temos o vetor diretor e o ponto de tangência, basta colocar na equação da reta!

E aí fechamos a questão :D