Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal
A função é diferenciável e Sabendo que o ponto pertence ao plano tangente ao gráfico de no ponto , determine e dê a equação do plano tangente.
Passo 1
Queremos achar esse plano tangente, e, no meio do caminho, precisaremos de , aí já matamos tudo de uma vez ;)
Vamos lá... Essa função que foi dada é do tipo:
Certo, uma função de duas variáveis. Sendo assim, podemos dizer que:
E, então, o vetor gradiente será do plano tangente será:
Até agora tranquilo?
Passo 2
Pegando o gradiente do passo anterior e o ponto de tangência, podemos escrever a equação geral para o plano como:
Ou seja, o produto escalar entre o vetor normal e um vetor qualquer do plano é (pois são perpendiculares). Tomando o ponto como o ponto de tangência, temos:
Naturalmente, esse e são as derivadas no ponto que estamos tratando, para as duas primeiras variáveis e para .
Passo 3
Pegando a equação para o plano que acabamos de encontrar, podemos dizer que o ponto pertence a ele colocando-o na equação:
Ok, chegamos numa relação entre as derivadas parciais que formam o vetor gradiente!
Passo 4
Agora chegou a hora de usar a equação que nos foi dada. Ela é uma parametrização para por uma curva , certo? Então, pela regra da cadeia, temos que:
Como , e , temos:
Como queremos o gradiente para o ponto , precisamos colocar (para ter ). Assim, teremos:
E chegamos em outra relação entre e !
Passo 5
Agora que temos duas relações que envolvem as duas derivadas parciais no ponto , basta resolver o sistema:
somando as duas, temos que
Substituindo esse valor na primeira, temos:
E, portanto, o vetor gradiente é:
E, só pra não criar um passo a mais pra colocar esse resultado na equação do plano, temos:
E é isso aí :D