Seja o plano tangente ao gráfico de uma função em um ponto . Seja uma parametrização para a curva de nível de e suponha que para algum . Determine uma equação para o plano sabendo que ele contém os pontos .
Passo 1
Muita coisa no enunciado, né? Vamos pegar o que interessa pra ficar mais fácil de montar alguma estratégia:
- Temos uma função
- Temos uma curva de nível de ,
E temos que encontrar um plano tangente a que passe pelos pontos .
Parece pouco, mas vamos destrinchar cada detalhe e ver o que podemos fazer com isso!
Passo 2
Bom, se essa curva é curva de nível de , então, obviamente, ela está contida em . Tá, e daí? E daí que podemos escrever que, para todo ponto e parâmetro correspondente ,
Sabe por que? Porque o vetor gradiente é perpendicular à superfície formada por , e representa um vetor tangente a curva , que, por sua vez, está na superfície de ! Então, como o vetor perpendicular à superfície é perpendicular a outro que seja tangente a ela, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é , a equação ali de cima sempre vale!
Passo 3
Então vamos calcular o tal :
Simples, só derivar cada componente!
E jogando na equação do passo ,
Passo 4
Resolvendo a equação
Não teremos uma resposta agradável, porque além de não sabemos quem é , ficaremos sem saber quem são e (as componentes do vetor gradiente).
Então, vamos usar um “truque”. Da mesma forma que o produto escalar entre vetores perpendiculares vale , temos, para vetores colineares, que um é múltiplo do outro. Faz sentido né? Então, vamos rotacionar em o vetor , e depois equacionar ele e o gradiente dizendo que são múltiplos um do outro.
O que fizemos foi trocar as coordenadas de lugar e multiplicar a segunda por . Se não lembra disse de Álgebra Linear, dá uma olhadinha rápida que é bem simples! Mas se não quiser fazer isso agora, apenas grave na cabeça: Para rotacionar um vetor em , troca as coordenadas de lugar e multiplica a segunda por .
E agora, podemos dizer que esse novo vetor é múltiplo do vetor gradiente! Assim,
Passo 5
Beleza, agora que temos essa última equação, podemos encontrar as derivadas parciais em função de e !
Veja só:
E temos, então,
Passo 6
E agora, o que fazemos com essas derivadas parciais? Jogamos na equação do plano! Sim, temos as derivada parciais em função de duas incógnitas, e . Mas temos também dois pontos, dados pelo enunciado. Assim, teremos um sistema de duas equações e duas incógnitas! Dito isto, vamos à equação do plano:
Sendo que sabemos, pelo enunciado, que , e, sendo , temos que e . Além disso, como o nível da curva é , ou seja, a curva tem altura constante igual a , . Colocando essa informações na equação, e as derivadas parciais que encontramos, teremos:
Passo 7
Legal, agora só falta substituir os pontos e resolver o sistema! Tendo os pontos , e colocando esses valores para , e da equação do plano, teremos:
Se fizermos a de baixo menos a de cima, teremos:
Passo 8
Jogando esse valor de na primeira equação, teremos:
Multiplicando por :
Resolvendo por Bhaskara:
Finalmente!! Encontramos o valor de e de !
Passo 9
Colocando esses valores na equação do plano, teremos:
Resposta
A equação do plano é: