Plano Tangente e Reta Normal
Seja uma função diferenciável. Seja uma curva diferenciável tal que sua imagem está contida no gráfico de . A equação da reta tangente a em é com Determine e para que o plano de equação seja o plano tangente ao gráfico de em .
Passo 1
Essa é aquela típica questão que a gente não sabe muito bem por onde começar, de tanta informação. Mas já que o enunciado dá a equação da reta tangente em , podemos dar uma olhada em e ver no que dá:
E sabemos pelo enunciado que a imagem de está contida no gráfico de . Logo:
Ou seja:
Além disso, sabemos que a equação da reta tangente a em é:
; .
Se essa é a reta tangente em , então ela passa por né?
Pra equação ser respeitada, devemos ter:
Show!
Passo 2
Agora que sabemos isso, podemos focar melhor na questão do problema: o plano tangente ao gráfico de em
Primeiro, pra ficar mais claro, podemos passar o pra um lado e o pro outro, aí o plano fica assim:
A equação do plano tangente a uma superfície num ponto é:
onde é o vetor normal à superfície em .
Nesse exercício, é o ponto que achamos no Passo 1 certo? Ou seja, as duas equações do sistema abaixo são equivalentes!
Observação: na segunda linha são produtos escalares!
Digamos Assim:
Agora vamos dar uma olhada na lado direito do sistema:
Beleza, achamos uma equação de primeiro grau relacionando e , só mais uma dessas e lacramos a questão!
Passo 3
Podemos lembrar que a equação da reta tangente a em é .
Como , isso significa que o vetor diretor dessa reta tangente é paralelo ao plano tangente ao gráfico de nesse ponto. Esse plano, nós já sabemos que é:
Mas peraí, se o vetor é paralelo ao plano tangente, então ele é perpendicular ao vetor normal!
Assim, pelas propriedades do produto escalar:
Uhul! Achamos a segunda equação!
Passo 4
Agora é só resolver o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeiro, obtemos:
Agora ficou fácil! Da segunda equação podemos tirar que: