Seja uma função diferenciável e seja o plano tangente à superfície de nível de no ponto . Supondo que as duas afirmações a seguinte sejam verdadeiras:

• A curva , tem sua imagem contida na superfícies de nível de .
• A reta , dada por , , é paralela ao plano .

Determine a equação do plano

Vamos montar agora nossa estratégia?

Como a curva está no mesmo nível do plano, podemos ver qual é o vetor tangente a ela no ponto , e, este, será perpendicular ao vetor normal do plano. Além disso, podemos dizer que o vetor diretor da reta que foi dada também é perpendicular ao vetor gradiente de , normal do plano!

Se fizermos o produto vetorial entre o vetor tangente da curva e o vetor diretor da reta, teremos como resultado um vetor que é perpendicular a ambos, e, por consequência, paralelo ao vetor gradiente do plano tangente!

Sem mais enrolação, encontrar o vetor tangente de no ponto !

Para isso, vejamos o valor do parâmetro nesse ponto:

Pela primeira coordenada, , show?

Agora, derivando a curva, temos:

Para , teremos:

Assim, temos que , ou seja, o vetor gradiente de , que é o vetor normal do plano tangente, é normal ao vetor tangente dessa curva ;)

Agora, vejamos a reta:

Pela sua equação, vemos que seu vetor diretor é , que tem o coeficiente multiplicando. Assim, temos:

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores perpendiculares ao vetor gradiente, teremos:

E, agora, temos um vetor que é paralelo ao vetor normal do plano!

Com isso, nada nos impede de tomá-lo como o próprio vetor normal, pois a proporção entre as variáveis será mantida! Como temos esse vetor e temos o ponto de tangência, só jogar na equação do plano:

Desenvolvendo, teremos:

E aí está a tão esperada equação :D