Sejam uma função diferenciável e a curva definida por
Suponha que a imagem de está contida no gráfico de e que o ponto pertence ao plano tangente ao gráfico de no ponto . Determine uma equação desse plano.
Passo 1
Vamos lá... Essa função que foi dada é do tipo:
Certo, uma função de duas variáveis. Sendo assim, podemos dizer que:
E, então, o vetor gradiente será do plano tangente será:
Até agora tranquilo?
Passo 2
Pegando o gradiente do passo anterior e o ponto de tangência, podemos escrever a equação geral para o plano como:
Ou seja, o produto vetorial entre o vetor normal e um vetor qualquer do plano é (pois são perpendiculares). Tomando o ponto como o ponto de tangência, temos:
Naturalmente, esse e são as derivadas no ponto que estamos tratando, para as duas primeiras variáveis e para .
Passo 3
Pegando a equação para o plano que acabamos de encontrar, podemos dizer que o ponto pertence a ele colocando-o na equação:
Ok, chegamos numa relação entre as derivadas parciais que formam o vetor gradiente!
Passo 4
Agora chegou a hora de usar a equação da curva que nos foi dada. Como ela está contida no gráfico de , podemos endendê-la como uma parametrização para por uma curva . Além disso, já que
Então,
Assim,
Usando a regra da cadeia, temos:
E chegamos em outra relação entre e !
Para temos que
Logo
Substituindo nessa relação entre e que encontramos, ficamos com:
E chegamos em outra relação entre e !
Passo 5
Agora que temos duas relações que envolvem as duas derivadas parciais no ponto , basta resolver o sistema:
Para temos que
Logo
Substituindo isso no sistema:
Ou seja,
somando as duas, temos que
Substituindo esse valor na primeira, temos:
E, portanto, o vetor gradiente é:
Passo 6
Finalmente, a equação do plano tangente fica:
E é isso aí :D