Seja uma função diferenciável. Mostre que os planos tangentes à superfície de equação passam todos pela origem.

Agora que já temos toda a nossa ideia esquematizada, podemos obter . O conjunto de nível consiste na superfície da função dada.

Em outras palavras, de uma forma bem prática, o que devemos fazer é pegar a equação da superfície dada, isolar tudo em algum membro e deixar o outro membro igual a 0. Portanto,

Novamente, percebam que passamos o para o segundo membro, deixando o primeiro membro igual a 0.

Agora, precisamos calcular o vetor gradiente, o que significa em calcular as derivadas parciais , e . Vamos obter agora cada uma dessas derivadas. Logo,

Aplicando a regra do produto, temos:

Como a variável é uma constante em relação a , então a sua derivada é igual a 0. Já em relação ao termo , vamos aplicar a regra do produto. Portanto,

Aqui acontece a mesma coisa que aconteceu com a variável . Como é uma constante em relação a , sua derivada é nula. Portanto,

E agora barramos num problema (que aparecerá também em ). Como derivamos ? A ideia é aplicar a regra da cadeia. Derivada da função de fora aplicada a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Como é uma função de uma única variável, podemos escrever sua derivada como . Portanto,

Ficou um pouco confuso, não foi? Temos que tomar cuidado com este passo pois ele realmente é o mais difícil de toda a questão. Então, vamos tentar repetir o que aconteceu de uma outra forma. Como a própria questão nos disse, temos uma . Isto é, uma função de uma variável que retorna um valor.

Em outras palavras, seria dizer que temos uma . Só que o que acontece quando chamamos este de duas outras variáveis? Uma . Portanto, o que apareceu lá para gente foi . E agora, consegue ver a regra da cadeia?

Escrevemos a derivada de como uma derivada simples pois é uma função de uma única variável só (que foi chamada de aqui).

Agora, temos que repetir o mesmo procedimento para . Portanto,

Devemos aplicar novamente a regra da cadeia. A derivada da função de fora aplicada a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Como é uma função de uma única variável, podemos escrever sua derivada como . Portanto,

Novamente, a derivada foi feita da mesma forma que a derivada , discutida anteriormente. A grande diferença foi que agora derivamos em relação a .

E por fim, calcularemos . O procedimento aqui é exatamente o mesmo que fizemos nos passos anteriores. Portanto, temos:

Como todo o termo não depende de , então, a sua derivada em relação a é igual a 0. Portanto, sobrou apenas a derivada .

Portanto, o nosso vetor gradiente é:

Se aplicarmos as coordenadas do ponto , temos:

Agora, basta utilizarmos o produto interno definido no passo 1 para calcularmos o plano tangente. Portanto,

Antes de multiplicarmos coordenada a coordenada e soma-las, podemos simplificar a nossa vida. Como queremos verificar se o ponto se a origem , satisfaz o nosso sistema, basta colocarmos no lugar de as coordenadas . Isto vai evitar com que façamos uma série de multiplicações. Portanto,

Agora, temos que fazer o produto interno entre os dois vetores. Relembrando, primeira coordenada de um vetor vezes a primeira coordenada do segundo mais o produto entre a segunda coordenada dos vetores mais o produto entre a terceira coordenada dos vetores. Portanto,

Mudando a ordem dos termos, temos:

Percebem que o primeiro termo é igual ao segundo (com diferença no sinal)? E o mesmo acontece com o terceiro e quarto termo? Então... um termo corta o outro! E ai, o que a gente conclui....

Então! Chegamos a uma verdade! Isto significa dizer que a origem pertence ao plano que passa por um ponto . Só que a gente não especificou o ponto, não foi?

Pronto, agora fechamos com chave de ouro. Como este ponto não foi especificado (tipo, seria dizer se fosse especificado), deixamos ele um ponto genérico, significa dizer que qualquer plano tangente a superfície passa pela origem.

Sendo assim, acabamos de provar o enunciado da questão!