Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Funções de Várias Variáveis, Curvas Parametrizadas, Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal, Reta Tangente e Plano Normal
Seja uma função diferenciável e considere dada por:
Seja a reta tangente à curva de nível de no ponto . Sabendo que a imagem de está contida no gráfico de e que a reta passa pelo ponto , determine:
- O vetor gradiente de no ponto
- A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
a)Organizando tudo o que temos:
- Uma função não especificada (sabemos que tem duas variáveis, porque é de );
- Uma curva que está contida na superfície formada por ;
- E uma reta, que sabemos que é tangente à curva de nível no ponto e também passa pelo ponto .
E, com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de no ponto .
Passo 2
Agora vamos botar a mão na massa!
Temos dois pontos por onde a reta passa, certo? Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos!
Passo 3
Como o gradiente da função é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(porque o nosso é tangente à superfície)!
Assim, se a gente rotacionar o vetor que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha, conseguiu enxergar? Assim, vamos pegar o vetor , e fazer:
Lembra de Álgebra Linear? Se não, dá uma olhadinha na teoria que essa parte é bem simples, basicamente, se queremos rodar em um vetor no sentido anti-horário, invertemos as coordenadas e multiplicamos a segunda por .
E, finalmente, agora que o vetor e o são colineares, podemos escrever para o ponto :
Ou seja, um é múltiplo do outro. O valor de iremos descobrir mais tarde, antes temos que chegar a mais algumas conclusões...
Passo 4
Vamos agora dar uma olhada para a curva . Sabemos que ela está contida na superfície , certo? Então, podemos dizer que, se
E
Então,
Viu o que fizemos? A curva pega sempre o valor de um , e, com ele, forma um ponto de coordenadas. Já a superfície , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada do ponto.
E qual seria o valor do parâmetro , se a nossa curva de nível passa por (ou seja, nível 4)? Fácil, basta a gente resolver esse “sistema”:
Se temos essas duas equações, podemos dizer que:
Passo 5
E agora só precisamos de mais uma relação que envolva o a função e a curva , sabe qual? A regra da cadeia! Veja só, por ela teremos que:
Assim, como , , e , só precisamos calcular a derivada dessa curva para e resolver essa equação, pois a única incógnita será o !
Fazendo então a derivada:
Para
Passo 6
Agora, resolvendo a equação:
Usando , e ,
Para , teremos:
Passo 7
Beleza!!! Agora que temos o valor de , é só voltamos pra equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:
Com
Passo 8
- Agora vamos econtrar a equação do plano tangete?
Como sabemos, é , porque a curva esse tempo todo tinha nível com parâmetro etc etc....
Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor!
Passo 9
Do item , temos que e .
Colocando esses valores na equação,
E aí está a equação do plano!
Resposta
- Vetor gradiente é
- Plano tangente é