Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem de comprimento quando sua temperatura é . Se houver uma folga de em um de seus lados antes de tocar seu apoio fixo, determine a temperatura exigida para fechar a folga. Qual é a tensão de compressão no concreto se a temperatura aumentar até ?
Dados: , .
Passo 1
O que está acontecendo?
A placa de concreto:
- Tem um comprimento inicial quando ela está submetida a uma temperatura inicial ;
- E possui um coeficiente de dilatação térmica e um módulo de elasticidade .
Além disso, a placa tem uma folga antes de encostar em seu apoio fixo em um dos seus lados:
Agora, se a temperatura dessa placa variar até uma temperatura final , ela vai sofrer uma dilatação térmica dada pela fórmula:
Onde é a variação de temperatura na placa.
Se essa dilatação térmica for maior que a folga , a placa vai passar a ser restringida pelos apoios em suas extremidades, que vão realizar forças de reação nela:
Esse carregamento gera na placa uma variação de comprimento .
Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total na placa vai ser igual à soma da dilatação térmica com essa variação de comprimento :
Como ao fechar a folga , a placa passa a ser impedida de continuar variando o seu comprimento, ainda vamos ter que:
E o que é que o exercício quer saber?
Primeiro, ele quer que a gente encontre a temperatura final exigida para que a dilatação térmica seja igual à folga .
Em seguida, ele quer saber qual vai ser a tensão normal de compressão causada pelas reações na placa quando a temperatura final for .
Não conhecemos a área da seção transversal da placa para podermos usar a fórmula da tensão normal média .
Então vamos ter que usar a Lei de Hooke para calcular a tensão , usando que e que .
Passo 2
Então primeiro, vamos calcular qual é a temperatura final para que seja igual a folga .
Da fórmula para , temos que:
Agora vamos pensar...
Nessa expressão, podemos substituir por .
Além disso, queremos saber qual é o valor de para que , então podemos substituir por .
Fazendo essas substituições, nossa expressão fica assim:
Com isso, podemos isolar para encontrar que:
Substituindo nessa expressão os valores:
- ;
- ;
- ;
- & ,
E calculando tudo, encontramos o resultado para a primeira parte do exercício:
Passo 3
Na segunda parte, o exercício quer saber qual é a tensão na placa quando a temperatura final é .
Como vimos no passo 1, vamos ter que usar a Lei de Hooke para calcular essa tensão :
Como o módulo de elasticidade da placa é , temos que .
Além disso, a deformação é definida como .
Substituindo esses valores, a Lei de Hooke fica assim:
Conhecemos os valores de e de , mas precisamos descobrir o valor da variação de comprimento devido ao carregamento na peça.
Passo 4
Para descobrir o valor de , podemos recorrer à equação de compatibilidade que obtivemos através do princípio da superposição no Passo 1:
Isolando , temos que:
Aqui, sabemos que a variação de comprimento total máxima que a placa pode sofrer é igual à folga .
E sabemos que .
Dessa forma, temos que:
Passo 5
Substituindo essa expressão que acabamos de encontrar para na expressão que encontramos no Passo 3 para a tensão , temos:
Simplificando, isso fica assim:
Finalmente, substituindo nessa expressão os valores:
- ;
- ;
- ;
- ;
- &
Encontramos o nosso resultado para a segunda parte do exercício:
Nesse resultado, o sinal de negativo () indica que essa é uma tensão de compressão.
Como o exercício já afirma que ele quer saber a “tensão normal de compressão”, podemos retirar esse sinal e fornecer o resultado como:
E assim está terminado o exercício!