6. Mostre que se T : V → W é uma transformação linear injetora e B = v 1 ,   ⋯ ,   v n ⊂ V é LI

Então { T v 1 ,   ⋯ ,   T ( v n ) } é LI.

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema a gente tem uma transformação linear injetora T : V → W e ele nos dá um conjunto que está em V , B = v 1 ,   ⋯ ,   v n , e nos diz que é LI. O problema tá querendo que a gente demonstre que o conjunto dos vetores: { T v 1 ,   ⋯ ,   T ( v n ) }

Também é LI... mas beleza, que isso quer dizer?

Bom, se a gente lembrar a definição de um conjunto L I , a gente tem que a combinação

a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n

Só pode ser igual ao vetor nulo se: a 1 = a 2 = a 3 = ⋯ = 0

Então vamos usar essa definição para resolver esse problema, beleza?Partiiiiiu!

Passo 2

Bom, vamos começar aplicando a transformação linear naquela combinação que eu falei antes:

T ( a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n )

Usando as propriedades das TL: T u + v = T u + T ( v )

T α u = α T ( u )

Temos que aquela combinação fica com essa cara aqui: T a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + ⋯ + a n T v n

Bom, supondo que as T v n não levem à vetores nulos, e como o conjunto v 1 ,   ⋯ ,   v n é uma combinação linear, temos que:

a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + ⋯ + a n T v n = 0  

Somente quando a 1 = a 2 = a 3 = ⋯ = a n = 0 .Opa!! Isso não é a definição de um conjunto LI? Então temos que o conjunto

{ T v 1 ,   ⋯ ,   T ( v n ) }

É LI !!E aí resolvemos essa 😊 vamos para a próxima??

Resposta

O conjunto { T v 1 ,   ⋯ ,   T ( v n ) } é LI.

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