Exercícios Resolvidos de TL Inversa

Enunciado

A2 T16

Quais são todos os valores de para os quais o operador linear dado por é invertível?

qualquer

Passo 1

Para que a seja invertível, ela precisa ser bijetiva. Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, basta que ela seja sobrejetiva ou injetiva para que ela seja sobrejetiva. Então vamos achar que torne sobrejetiva.

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, para ser injetiva, basta que as linhas ou as colunas da matriz sejam . Então vamos escalonar:

Repare que se teremos uma linha zerada, logo não será sobrejetiva. Se , a primeira linha será múltipla da segunda, então a matriz também não será sobrejetiva.

Para qualquer outro valor real que assuma, as linhas serão e a matriz será sobrejetiva e portanto inversível. Então temos que

Resposta

Letra

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Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove: A T e B T são semelhantes.Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.

Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,x zey z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.

Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas T 1 p x = x p ( x ) eT 2 p x = p x + 1 Encontre fórmulas para T 1 - 1 x ,y , T 2 - 1 x ,y , T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,y ) V

Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.

T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3