Seja A uma matriz injetiva. Sejam e soluções dos sistemas e respectivamente. A solução de
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Se e são respectivamente soluções dos sistemas e , então:
Beleza, vamos aplicar a inversa da matriz A dois lados dessas equações:
Queremos saber a solução de:
Vamos fazer a mesma coisa e aplicar a inversa dos dois lados dessa equação:
Agora vamos fazer algo parecido com o que a gente já fazia antes com transformações lineares, mas com a matriz inversa!
Passo 2
Vamos escrever como CL de e :
Da segunda equação já temos o valor de b:
Substituindo na primeira ou na terceira equação, encontramos:
Então:
Passo 3
Aplicando a inversa dos dois lados:
Se A é uma transformação linear, então a inversa de A também é linear:
Substituindo o que tínhamos achado no passo 1:
E essa é a nossa resposta!
Passo 4
Pra finalizar, só uma observação sobre essa questão.
pra resolvê-la, saímos usando a inversa sem se preocupar se ela existia ou não.
Vamos verificar nesse caso que a inversa existe.
A matriz A pega vetores do e transforma em vetores do logo é uma transformação e:
A imagem de A é gerada pelos vetores e e esses dois vetores são LI (um não é múltiplo do outro), logo uma base para a imagem de A tem dois vetores e:
Usando o teorema núcleo imagem:
Ou seja, o núcleo é trivial.
Logo, A é inversível!
Por isso podemos resolver a questão desse jeito.
Resposta
(a)