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Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Exercício 512346789

Enunciado

UFRJ, P2-2019.2

Sejam T : R 4 → R 4 uma transformação linear. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. O núcleo de T e imagem de T podem ser iguais.
  2. Suponha que T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 seja linearmente independente para um dado conjunto v 1 ,   v 2   v 3 . Então pode-se concluir que T é injetiva.
  3. O núcleo de T pode ter dimensão 3 .
  4. Se T é injetiva então T é invertível.

Passo 1

Belezoca galera, temos que T : R 4 → R 4 é uma transformação linear, sabendo somente disso, vamos então analisar cada uma das alternativas pra ver qual delas é a INCORRETA. Na letra (a), o enunciado afirma que o núcleo de T e imagem de T podem ser iguais.

O teorema que relaciona esse núcleo e a imagem é, pasmem, o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que dada uma transformação T : R n → R m , temos:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = n

Logo, para nossa transformação T : R 4 → R 4 , temos que:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = 4

E como n é um número par, n = 4 , podemos de fato ter as dimensões do núcleo e da imagem iguais, dim ⁡ N ú c l e o T = dim ⁡ I m a g e m T = 2 . Afirmativa verdadeira.

Passo 2

Na letra(b), ele diz que suponha que T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 seja linearmente independente para um dado conjunto v 1 ,   v 2   v 3 . Então pode-se concluir que T é injetiva.

Show, sabemos que para uma transformação ser injetiva, a dimensão do núcleo dessa transformação tem que ser igual a 0 :

dim ⁡ N ú c l e o T = 0

E para o exemplo dessa alternativa, ela diz que o conjunto T v 1 ,   T v 2 ,   T v 3 é linearmente independente, é ai que tá malicia, porque se esses vetores resultantes T v 1 ,   T v 2 e T v 3 são L . I , quer dizer que podemos garantir que no mínimo a dimensão da imagem é igual ou maior a 3, uma dimensão para cada vetor L.I resultante. Logo, temos que:

dim ⁡ I m a g e m T ≥ 3

E pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = 4

Se dim ⁡ I m a g e m T = 3 , vamos ter:

dim ⁡ N ú c l e o T + 3 = 4

dim ⁡ N ú c l e o T = 1

E nesse caso, nossa função NÃO SERIA INJETIVA, já que dim ⁡ N ú c l e o T ≠ 0 . Logo, essa é a nossa alternativa INCORRETA.

Passo 3

Tranquilovski, como já temos a alternativa incorreta, já poderíamos responder a questão. MAAASSSSS, como a gente é ruim, vamos provar que as outras alternativas estão corretas. Saca só, na letra (c), ele diz que o núcleo de T pode ter dimensão 3 .

E ora bolas, se testarmos essa possibilidade no Teorema do Núcleo e Imagem, vamos ter:

dim ⁡ N ú c l e o T + dim ⁡ I m a g e m T = 4

3 + dim ⁡ I m a g e m T = 4

dim ⁡ I m a g e m T = 4 - 3

dim ⁡ I m a g e m T = 1

O que é possível né, logo a alternativa (c), está correta.

Passo 4

E por fim, na letra (d), ele diz que se T é injetiva então T é invertível.

Iradoso, sabemos que as condições pra uma transformação ser invertível é que ela seja “quadrada”, isto é, T : R n → R n , e que a dimensão do núcleo de T seja igual a 0 . E POR PURA COINCIDÊNCIA, essas também são as condições para uma função ser injetiva, logo nossa afirmativa (c) também está correta.

Resposta

Letra b, INCORRETA.

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