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Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Exercício 213456789

Enunciado

Seja o operador linear em R 2 definido por T x , y = 4 x - 3 y , - 2 x + 2 y

  1. Mostrar que T   é inversível.
  2. Encontrar uma regra para T - 1 como a que define T .

Passo 1

Para começar vamos ver se essa transformação é inversível. Para isso, o jeito mais fácil é achando a matriz que representa a transformação e calculando o seu determinante.

Se o determinante for diferente de zero, temos que a matriz é sim inversível!

A matriz dessa transformação é T = 4 - 3 - 2 2

Cujo determinante é:

det ⁡ T = 8 - 6 = 2

Como 2 ≠ 0 a nossa transformação é inversível!

Passo 2

Agora a letra b. Queremos achar a expressão analítica da inversa de T .

Bom, já temos a matriz que representa T ,   podemos achar a inversa dela e fazer o caminho contrário do que fizemos antes, encontrando a expressão através da matriz.

Bora acha a inversa de T .

Como ela é 2 × 2 , podemos aplicar aquela formulinha:

A = a b c d

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Aplicando na matriz T :

T - 1 = 1 8 - 6 2 3 2 4 = 1 3 2 1 2

Passo 3

Agora vamos passar isso para expressão analítica:

T - 1 x , y = 1 3 2 1 2 x y = x + 3 2 y x + 2 y

Logo o vetor x , y depois da transformação vai ficar igual a ( x + 3 2 y ,   x + 2 y ) .

T x , y = ( x + 3 2 y ,   x + 2 y )

Resposta

  1. Sim
  2. T x , y = ( x + 3 2 y ,   x + 2 y )

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